Máximo de la suma del cubo

Question

(1) $-2\leq a_{i} \leq 2$ $~(i=1,2,3,4,5)$

(2) $\displaystyle\sum_{cyclic}a_{i}=0$

entonces, encontrar el valor máximo de $\displaystyle\sum_{cyclic}a_{i}^{3}$
también, se puede generalizar como para $\displaystyle\sum_{cyclic}a_{i}^{n}$ $~(n\in N)$

Answer 1

La función $f(u) = u^3$ es convexo para $u \ge 0$ y cóncavo para $u \le 0$ . A partir de esto tenemos para $u, v \in \{ a_i \}$ :

$$ f(u) + f(v) \le \begin{cases} 2f\left(\dfrac{u+v}2\right) & \qquad u, v \in [-2,0] \\ f(2) + f(u+v-2) & \qquad u, v \in [0, 2] \end{cases} \tag{1}$$

Además, tenemos, si $ u < 0 < v$ : $$ f(u) + f(v) \le \begin{cases} f(0) + f(u+v) & \qquad u+v \le 0 \\ f(2) + f(u+v-2) & \qquad u+v \ge 0 \end{cases} \tag{2}$$

WLOG, podemos suponer que $a_i$ se ordenan de forma descendente. Dejemos que el primer $k$ términos sean positivos. Entonces, utilizando el razonamiento de $(1)$ arriba tenemos $$\sum_{i=1}^k f(a_i) \le (k-1)f(2) + f\left(\sum_{i=1}^k a_i - 2(k-1) \right)$$ Por lo tanto, está claro que podemos establecer $k-1$ de estas variables a $2$ para maximizar la suma parcial anterior. Sea la variable positiva restante $a_k$ .

Del mismo modo, para los términos que son $\le 0$ tenemos de $(1)$ : $$\sum_{i=k+1}^5 f(a_i) \le (5-k)f\left(\frac1{5-k} \sum_{i=k+1}^5 a_i \right) $$ por lo que podemos sustituir todos estos términos por su media aritmética $\mu$ para maximizar esta suma parcial.

Ahora tenemos $\mu < 0 < a_k$ y por lo tanto utilizando $(2)$ podemos sustituir $(\mu, a_k)$ con $(2, \mu+a_k-2)$ o $(0, \mu+a_k)$ para aumentar la suma (dependiendo del signo de $\mu + a_k$ ), con lo que todos los términos positivos son iguales a $2$ . Así que tenemos que el máximo es cuando algunos $k$ de la $a_i$ s son $2$ y los restantes son todos iguales . Obviamente $\mu = -\dfrac{2k}{5-k}$ , dando una suma de $$g(k) = kf(2) - (5-k)f\left(\frac{2k}{5-k}\right) = 8k - \frac{(2k)^3}{(5-k)^2} $$ Es fácil comprobar que $g'(k) = 0$ cuando $k = \frac53$ y que $k = 2$ da el máximo entre los enteros en $[1, 5]$ .

El método puede ser adaptado en general para los $a_i \in [c, d]$ y natural $i \le m$ para encontrar el máximo de $\sum a_i^n$ con sujeción a $n \in \mathbb{N}$ y $\sum a_i = 0$ .