Pregunta: Calcule la serie de Frobenius sobre $x=1$ para el siguiente problema:
$(x-1)y"(x)-xy'(x)+y(x)=0$
Para aquellos que no estén familiarizados con el método de Frobenius, básicamente tratamos de calcular $y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-1)^{k+\alpha}$ , tal que es una solución a la EDO anterior a través de la idea de la relación de recurrencia.
Mi trabajo hasta ahora
Ahora, he encontrado que las raíces de la ecuación indicial son $\alpha_1=2$ y $\alpha_2=0$ . Posteriormente calculé que la primera serie de Frobenius es $y_1(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(k+2)!}(x-1)^k$ donde tomé $a_0=1$ para simplificar. (esta serie de potencias corresponde a $\alpha_1=2$ ).
A continuación, calculé las series de potencias para $\alpha_2=0$ . Ahora, teniendo en cuenta la relación de recurrencia, he calculado $b_0=b_1$ y $b_2$ es arbitraria. ( $b_i$ son coeficientes de la segunda serie de Frobenius, $y_2(x)$ ). Dado que $b_0$ es de nuevo arbitrario, lo establezco como $1$ de nuevo para simplificar. Aquí tenía dos opciones para $b_2$ :
Cualquiera de los dos conjuntos $b_2=0$ que posteriormente significa que $b_k=0$ $\forall k\geq 2$ que corresponde a un polinomio, $y_{2_1}(x)=(x-1)+1$ .
O podría establecer $b_2=\frac{1}{2}b_1=\frac{1}{2}.$ Entonces por relación de recurrencia se obtendría la potencia ve de $y_{2_2}(x)=exp(x-1)$ .
Mi confusión:
¡TEMA! Ahora me parece que he creado tres soluciones linealmente independientes, $y_1(x), y_{2_1}(x), y_{2_2}(x)$ que sé que no puede ser el caso, así que ¿cómo podría producir una relación lineal entre tres de ellos?
Quiero decir, todo lo que pude ver hasta ahora es que $(x-1)^2y_1(x)=2y_{2_2}(x)-2y_{2_1}(x)$ . ¿Implicaría esto que efectivamente son linealmente dependientes?
Gracias a todos los que han leído hasta aquí, aprecio mucho su paciencia y amabilidad. Si alguien quiere que publique más de mi trabajo, ¡intentaré hacerlo lo mejor posible!
