Un mapa isomórfico de $U(3) \times U(5)$ a $U(15)$

Question

Estoy tratando de mostrar que $U(3) \times U(5)$ es isomorfo a $U(15)$ .

Normalmente, para demostrar que dos grupos son isomorfos entre sí, encuentro un mapa isomorfo que mapea los dos grupos.

Sé que $U(3) \times U(5) \cong U(15)$ de buscar en Google, pero no sé cómo probarlo.

¿Alguien conoce un mapa isomórfico que mapee estos grupos?

Answer 1

Como ha señalado en los comentarios @MarcBogaerts, el mapa es $$\begin{align} \varphi: U(15)&\to U(3)\times U(5) \\ n&\mapsto (n \bmod{3}, n\bmod{5}). \end{align}$$

Otra forma de ver esto es a través de la lente del Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos, observando que

Lema : $\operatorname{Aut}(\Bbb Z_n)\cong U(n)$ para todos $n\in\Bbb N\setminus\{0\}$ .

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Para saber más, véase, por ejemplo, la obra de Gallian Álgebra abstracta contemporánea para una demostración tanto del teorema fundamental como del lema anterior.

Answer 2

El mapa directo es $$\begin{align} U(3)\times U(5) &\to U(15) \\ (a \bmod 3,b \bmod 5) &\mapsto 6b-5a\bmod{15}). \end{align}$$

Viene dado por el Teorema del resto chino .

Si quieres comprobar directamente este mapa, empieza por demostrar que está bien definido.