Cómo probar que $\lim \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)... 2n} = \frac{4}{e}$

Question

Me gustaría una sugerencia para mostrar que:

$$\lim \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdots 2n} = \frac{4}{e} .$$

Gracias.

Answer 1

Tomando $\log$ de la expresión de obtener

$\frac{1}{n}\sum \log (1+\frac{k}{n}) $.

Esta es una suma de Riemann para la función de $\log(1+x)$ en el intervalo de $[0,1]$.

Answer 2

Este es @Jonas Meyer idea desde el enlace en su respuesta:

Deje $$a_n={(n+1)(n+2)\cdots 2n\over n^n}.$$

Entonces $$ \lim_{n\rightarrow\infty} {a_{n+1}\over a_n}= \lim_{n\rightarrow\infty}{(2n+1)(2n+2)\más de n+1}\cdot {n^n\(n+1)^{n+1}}= \lim_{n\rightarrow\infty}{2(2n+1)\más de n+1}(1+\estilo de texto{1\over n})^{-n}={4\a través de correo}. $$

Pero, para $a_n>0$ si $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_{n+1}\over a_n}=L$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\root n\of {a_n}=L$ (véase la página 3 de Pete Clark notas aquí).

En este caso $de$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \raíz n\{a_n} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{1\over n}\raíz n \{(n+1)(n+2)\cdots 2n }. $$

Answer 3

Se puede reescribir como

$$4\left(\frac{\sqrt[2n]{(2n)!}}{2n}\right)^2\cdot\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$$ y utilizar el resultado de esta pregunta.

Answer 4

Un enfoque posible es notar que el término dentro de la raíz es $\frac{(2n)!}{n!}$ y se aplican a Stirling aproximación.

Answer 5

Hay un teorema que es muy útil para este tipo de preguntas.

Deje $a_n$ ser una secuencia de números reales positivos. Si $a_{n+1}/a_n$ converge, entonces $a_n^{1/n}$ converge al mismo límite.

Continuando a partir de aquí es bastante sencillo.