Para utilizar el método de interpolación por splines cúbicos, tenemos que satisfacer esencialmente $3$ condiciones, que son:
- $f_i(x_i)=(1,x_i,x_i^2,x_i^3)c_i=f_i, f_i(x_{i+1})=(1,x_{i+1},x_{i+1}^2,x_{i+1}^3)c_i=f_{i+1}$
- $f'_{i-1}(x_i) = (0, 1, 2x_i,3x_i^2)c_{i-1}=f'_{i}(x_i), 1 \leq i < n-1$
- $f''_{i-1}(x_i) = (0, 0, 2,6x_i)c_{i-1}=f''_{i}(x_i), 1 \leq i < n-1$
Podemos describir estas funciones a trozos con el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:
$$\begin{pmatrix}1&x_0&x_{0}^2&x_{0}^3&&&&&&\\ 1&x_1&x_{1}^2&x_{1}^3&&&&&&\\ 0&1&2x_1&3x_{1}^2&0&-1&-2x_1&-3x_{1}^2&&\\ 0&0&2&6x_1&0&0&-2&-6x_1&&\\ &&&&1&x_1&x_{1}^2&x_{1}^3&&\\ &&&&1&x_2&x_2^2&x_{2}^3&&\\ &&&&&&&&...&\\ &&&&&&&&&1&x_{n-2}&x_{n-2}^2&x_{n-2}^3\\ &&&&&&&&&1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&x_{n-1}^3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}c_0\\ c_1\\ c_2\\ ...\\ c_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_0\\ f_1\\ 0\\ 0\\ f_1\\ f_2\\ ...\\ f_{n-2}\\ f_{n-1}\\ \end{pmatrix}$$
Filas $1$ y $2$ son para los puntos de interpolación. Filas $3, 4$ son para las primeras derivadas, pero no entiendo cómo las columnas $5,6,7,8$ se derivan. ¿Cuál es la explicación de su inclusión en la matriz?
En el método de interpolación cúbica de Hermite, construimos un sistema de ecuaciones utilizando únicamente la función y su derivada. Por lo tanto, si usted fuera a interpolar entre dos puntos, necesitaría la función para esos dos puntos y sus derivadas, que podríamos poner en un sistema similar de ecuaciones en forma de matriz, donde la matriz es $4 \times 4$ . Eso todavía tenía sentido, pero cuando incorporamos esa idea para las splines cúbicas, no puedo entender cómo las columnas $5 \to 8$ trabajo.
