Débil * Convergencia

Question

Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio :

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach separable, M un conjunto acotado de $X'$ el dual de $X$ , demuestre que para toda secuencia $f_n$ hay una subsecuencia que es débil* convergente a alguna $f \in X'$ .

Ahora mi proceso difícil con esto fue que desde $X$ es separable y el $f_n's$ están unidos ya que están en $M$ sólo tenemos que ver que $f_{n_k}(x)$ es cauchy para cada $x$ en $A$ , donde $A$ es el conjunto contable tal que $cl(A)=X.$ Ahora bien, esto podría tener algo que ver con $A$ siendo contable pero no sé cómo encontrar las funciones $f_{n_k}$ de $f_n$ tal que tendremos una secuencia de Cauchy, ¿alguien tiene algún consejo? Gracias de antemano.

Answer 1

Su enfoque ya es una buena idea.

Permítanme hacer un esbozo del resto de la prueba.

Puede enumerar los $x\in A$ por $x_1,x_2,\dots$ . Un primer paso importante sería construir una subsecuencia $K_1\subset\mathbb N$ tal que $\{f_k(x_1)\}_{k\in K_1}$ es Cauchy (aquí se necesita la acotación de $M$ ). Se puede repetir este proceso y encontrar una subsecuencia $K_2\subset K_1$ tal que $\{f_k(x_2)\}_{k\in K_2}$ es Cauchy, y repetir este proceso un número contable de veces.

Finalmente, escoge una subsecuencia diagonal $K_\infty$ . Entonces se puede demostrar que $\{f_k(x_j)\}_{k\in K_\infty}$ es Cauchy para todo $j\in\mathbb N$ .

Además, estas cosas están muy relacionadas con el teorema de Banach-Alaoglu.