Transporte paralelo en un haz principal mediante el teorema fundamental no abeliano del cálculo

Question

Supongamos que tenemos un haz principal $p: P \to M$ con forma de conexión principal $\omega: TP \to \mathfrak{g}$ .

Dada una curva arbitraria cualquiera $\gamma: I \to P$ en el espacio total del haz principal, donde $I=[0,1]$ podemos utilizar el teorema fundamental no abeliano del cálculo [ R. W. Sharpe Thm 7.14] para integrar $\gamma^*\omega: TI \to \mathfrak{g}$ a un mapa $g: I \to G$ tal que $g(0) = e$ y $g^* \omega_G = \gamma^* \omega$ , donde $\omega_G: TG \to \mathfrak{g}$ es la forma habitual de Maurer-Cartan en $G$ .

Ahora podemos definir una especie de transporte del punto de partida $\gamma(0)$ a lo largo de esta curva por \begin{equation}\gamma(0) \mapsto \gamma(t).g(t)^{-1}.\end{equation} Nota: Puede que tenga que reemplazar $g(t)^{-1}$ por $g(t)$ en la fórmula anterior.

Por otro lado, podemos utilizar la definición estándar de transporte paralelo: tomar la proyección $p \circ \gamma: I \to M$ y levantarla de nuevo hasta una curva horizontal $\widetilde{\gamma}: I \to P$ con el mismo punto de partida $\widetilde{\gamma}(0)=\gamma(0)$ . Entonces podemos transportar en paralelo el punto de partida $\widetilde{\gamma}(0)=\gamma(0)$ viajando a lo largo de la curva horizontal: \begin{equation}\mathrm{Pt}_{p \circ \gamma}(t)\gamma(0)= \widetilde{\gamma}(t). \end{equation}

¿Están de acuerdo estas dos nociones de transporte? En otras palabras, ¿tenemos una igualdad $\widetilde{\gamma}(t) = \gamma(t).g(t)^{-1}?$

Para quien no esté familiarizado con la FTC no abeliana, daré aquí la versión global:

Teorema (teorema fundamental no abeliano del cálculo): Supongamos que se nos da una variedad conectada $M$ equipado con un $\mathfrak{g}$ -valorado $1$ -forma $\omega: TM \to \mathfrak{g}$ . Entonces existe un mapa suave $f: M \to G$ tal que $\omega =f^* \omega_G$ si y sólo si $\omega$ satisface la ecuación de Maurer-Cartan $d\omega + \frac{1}{2}[w \wedge \omega]=0$ y la representación monodromática $\pi_1(M, x) \to G$ es trivial. Además, si se cumplen estas condiciones, el mapa $f$ , llamado el integral de $\omega$ es único hasta la traslación a la izquierda por un elemento de $G$ .

Corolario: En el intervalo $I=[0,1]$ cualquier forma 1 $\omega: TI \to \mathfrak{g}$ tiene una integral $f: I \to G$ único hasta la elección de $f(0) \in G$ .

Answer 1

Sí, coinciden (al menos si te entiendo bien).

Dejemos que $\check{\gamma}$ sea un camino en $M$ . Si fijamos un ascensor $\gamma$ en P, entonces la elevación horizontal $\gamma_\omega$ de $\check{\gamma}$ es necesariamente de la forma $\gamma_\omega(t) = \gamma(t) \cdot g(t)$ para alguna curva $g: [0,1] \to G$ . Diferenciando esta relación con respecto a $ t $ rinde $$ \omega(\dot \gamma_\omega(t)) = \omega(\dot \gamma (t) . g(t)) + \omega(\gamma(t) . \dot g(t)) \\ = \omega(\dot \gamma (t) . g(t)) + \omega(\gamma(t) \cdot g(t) . g(t)^{-1} \dot g(t)) \\ = Ad^{-1}_{g(t)} \omega(\dot \gamma (t)) + g(t)^{-1} \dot g(t).$$ Utilizando el hecho de que $\gamma_\omega$ es horizontal, por lo que obtenemos $\dot g(t) g^{-1}(t) = - \omega(\dot \gamma (t))$ .

Unas palabras sobre la notación utilizada en el cálculo anterior:

• Los puntos inferiores son sólo las derivadas parciales de la acción. En particular $p . A = \frac{d}{d \epsilon} (p \cdot exp(\epsilon A))$ para $A$ un elemento del álgebra de Lie y $p \in P$ .
• La equivocidad de la conexión implica $\omega(X . g) = Ad^{-1}_g \omega(X)$ por cada $X \in T_p P$ .
• La conexión es la identidad en el vector vertical, que equivale a $\omega(p. A) = A$ por cada $p \in P$ y $A \in \mathfrak{g}$ .