Matriz que no es cero cuando se eleva a potencias.

Question

La matriz cuadrada $X$ es tal que $X^3 = 0$ . Demuestre que la inversa de la matriz $(I-X)$ es $I+X+X^2$ .

He probado a poner la matriz $X$ a una matriz cero, pero no funcionó, así que asumo que $X$ es distinto de cero, pero no sé cuándo $X^3$ es distinto de cero.

Answer 1

Lo que has dado es sólo una suposición: supón que tienes una matriz $X$ tal que $X^3=0$ . No es necesario especificar qué matriz exactamente que estamos utilizando. Sin embargo, hay que tener en cuenta que $X=0$ funciona bien desde entonces $I-X=I$ y $I+X+X^2=I$ y así, por supuesto, $(I-X)(I+X+X^2)=I$ como se desee.

La inversa de una matriz $A$ (si existe) es la matriz (única) $B$ tal que $AB=I$ . Así que tenemos que demostrar que para $A=I-X$ y $B=I+X+X^2$ lo siguiente $AB=BA=I$ . Ampliación de los rendimientos \begin{align*} AB=(I-X)(I+X+X^2)&=I(I+X+X^2)-X(I+X+X^2)\\ &=(I+X+X^2)-(X+X^2+X^3)\\ &=I+(X-X)+(X^2-X^2)-X^3\\ &=I-X^3\\ &=I \end{align*} El último paso se desprende de $X^3=0\implies-X^3=0$ . Por lo tanto, efectivamente, $AB=I$ y así la matriz $I+X+X^2$ es el inverso de la matriz $I-X$ . Deduciendo $BA=I$ y el mismo método termina la prueba y muestra que $I+X+X^2$ es la inversa de $I-X$ .

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Como señala Chris Custer , matrices $A$ para el que existe un $n\in\Bbb N$ tal que $A^n=0$ se llaman nilpotente .

Answer 2

Sólo multiplícalo $$(I-X)(I+X+X^2)=I+X+X^2-X-X^2-X^3=I-X^3=I$$ El otro lado funciona igual