Si $X = 1_A$ es el indicador de algún evento $A \in \mathcal{F}$ entonces $X$ es una variable aleatoria.
La prueba de esto dice $X^{-1}(B)$ (para $B$ estando en todos los conjuntos de Borel $\mathcal{B}$ ) debe ser $A, A^c, \emptyset, \Omega$ . Pero no creo que esto esté tan claro, tan probado:
Dejemos que $X = 1_{A}$ para $A \in \mathcal{F}$ que es para $A \in \mathcal{F}$ y $\mathcal{F}$ es un álgebra sigma
$\forall \omega \in \Omega: X(\omega) = 1_{A} (\omega) = \begin{cases} 1 & if \omega \in A \\ 0 & if \omega \notin A \\ \end{cases} $
Entonces la preimagen de $X$ es:
$\forall B \in \mathcal{B}: X^{-1}(B) = \begin{cases} A & if \; 1 \in B \\ A^c & if \; 0 \in B \\ \emptyset & if \; \{ 0, 1 \} \not\in B \end{cases} $
Pero no hay $\Omega$ aquí. He visto esta prueba que se evalúa en $x \in \mathbb{R}$ pero aquí estamos evaluando en los conjuntos de Borel que pueden ser intervalos. Así que la preimagen del intervalo $(2,3)$ estará vacío, pero $X^{-1} (1/2,3/2) = A$ o sólo puede $X^{-1} (1) = A$ ?
