Dos líneas trazadas a través de $T$ en $(-1,-2)$ son tangentes a una parábola en $P$ $(2,3)$ y $Q$ $(3,-1)$ respectivamente. Encuentra la ecuación de la parábola.
Intenté usar la similitud de triángulos para encontrar el foco, pero fue en vano.
Respuesta
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Método 1: Primero, construye el paralelogramo $PTQR$ la diagonal $TR$ es paralela al eje de la parábola. Es conveniente utilizar el punto medio de $PQ$ en lugar de construir $R$ explícitamente-los diagonales de un paralelograma se bisecan entre sí. A continuación, utiliza la propiedad de reflexión para encontrar el foco: refleja la línea a través de $P$ en paralelo a $TR$ en la línea tangente $TP$ y de la misma manera reflejar la línea a través de $Q$ en la línea tangente $TQ$ . El foco es la intersección de las dos reflexiones. Ahora puedes encontrar la ecuación del eje $ax+by+c=0$ . La ecuación de la parábola tendrá la forma $$(ax+by+c)^2 = p(by-ax+d),$$ con $p$ y $d$ aún por determinar. Una forma sencilla de encontrar estos parámetros desconocidos es simplemente introducir las coordenadas de $P$ y $Q$ y resolver el sistema de ecuaciones resultante. Alternativamente, puedes lanzar una perpendicular desde el foco a cualquiera de las rectas tangentes. El pie de la perpendicular se encuentra en la tangente al vértice, lo que te permitirá determinar su ecuación -y por tanto $d$ -y luego puedes encontrar $p$ por sustitución.
Método 2: Construye la parametrización de Bézier de esta parábola $(1-t)^2 P+2t(1-t)T+t^2Q$ y eliminar $t$ . Una forma mecánica de hacer esto último es calcular la resultante de los dos polinomios y factorizar $t$ fuera de ella. La ecuación resultante tendrá la forma de una ecuación cónica general, que me parece más opaca que la desarrollada en el método 1.
Método 1.1 (añadido): Una vez que hayas encontrado un vector de dirección $(\beta,-\alpha)$ para el eje, puedes construir el esqueleto de una ecuación para la parábola: $$f(x,y) = (\alpha x+\beta y)^2+Dx+Ey+F=0.$$ Los dos puntos conocidos $P$ y $Q$ te dan dos ecuaciones para los coeficientes desconocidos. La normal y la tangente en cualquier punto son ortogonales, así que puedes escribir $\nabla f(P)\cdot(P-T) = 0$ y $\nabla f(Q)\cdot(Q-T)=0$ para dos más.
Método 1.2 (añadido): Una definición clásica de parábola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz). Conociendo las coordenadas $(x_f,y_f)$ del foco y que la ecuación de la directriz tendrá la forma $by-ax+d=0$ se pueden utilizar las fórmulas estándar de distancia para escribir la ecuación $$(x-x_f)^2+(y-y_f)^2 = {(bx-ay+d)^2\over a^2+b^2}$$ para la parábola. Ahora sólo hay un parámetro desconocido $d$ que puedes encontrar introduciendo las coordenadas de cualquiera de los puntos conocidos en esta ecuación.
