Puntos elípticos del grupo modular en el semiplano superior

Question

Esta es una pregunta muy pequeña.

Dejemos que $\mathbb{\Gamma} = \mathrm{SL_2}(\mathbb{Z})$ sea el grupo modular, $\mathcal{F} = \{z \in \mathbb{C} ;\; \lvert z \rvert \geq 1,\; \lvert \Re (z) \rvert \leq 1/2\}$ su dominio fundamental.

No entiendo (probablemente) el siguiente argumento de Toshitsune Miyake en "Formas modulares", en la demostración del teorema 4.1.3, página 98.

Desde $\mathbb{\Gamma}$ contiene $\tau = \left[\begin{smallmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]$ y $\omega = \left[\begin{smallmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right]$ los puntos límite de $\mathcal{F}$ que no sea $i$ , [ $\zeta_6 = e^{2\pi i/6}$ , $\zeta_6^2$ ], son [...] puntos ordinarios.

Esto es lo que pensé: Deja que $p$ sea un punto elíptico en la frontera de $\mathcal{F}$ estabilizado por $\gamma \in \mathbb{\Gamma}$ . Supongamos que $p$ no es $\zeta_6$ ni $\zeta_6^2$ . Desde $\gamma \mathcal{F} \cap \mathcal{F} \neq \emptyset$ , $\gamma$ debe ser ahora $\tau$ , $\tau^{-1}$ o $\omega$ pero no puede ser $\tau$ ni su inversa, pues tiene que ser elíptica. Así que los únicos otros puntos elípticos posibles tienen que ser estabilizados por $\omega$ lo que le deja a uno con $i$ .

Pero ahora no sé cómo probar el paso $\gamma \mathcal{F} \cap \mathcal{F} \neq \emptyset\; \Rightarrow\; \gamma = \tau, \tau^{-1}, \omega$ que sólo es visualmente claro para mí. Siento que el argumento original, previsto es más fácil que esto y estoy siendo ciego.

Answer 1

Aquí es necesario comprobar un poco más que el argumento que esbozas: hay más elementos que $\tau, \tau^{-1}$ y $\omega$ tal que $\gamma D \cap D \ne \varnothing$ -- de hecho el conjunto $\{ \gamma \in \overline{\Gamma} : \gamma D \cap D \ne \varnothing\}$ tiene 10 elementos si no recuerdo mal. Aquí $\overline{\Gamma} = \Gamma / \{\pm 1\} = PSL_2(\mathbb{Z})$ . Sin embargo, se puede comprobar que ninguno de estos diez elementos (excepto la identidad) fija ningún punto que no sea $i, e^{\pi i/3}, e^{2\pi i / 3}$ . Este argumento está elaborado con mucho cuidado en el último capítulo del libro de Serre "A Course in Arithmetic".

En cuanto a lo que Miyake tenía en mente en ese momento en su libro, ¡no estoy seguro!

Answer 2

Aunque esta es una pregunta antigua, caí en el mismo problema, y explicaré lo que creo que era la línea de pensamiento original de Miyake con esto.

Volviendo a la demostración del Teorema 1.9.1, no tenía sentido considerar $z$ un vértice. Más bien, podemos elegirlo en cualquier punto de la frontera de $F$ donde podemos pensar que es un vértice, después de cortar la línea que lo contiene en él.

Pero entonces, tendríamos, por la misma prueba (A no ser que haya utilizado el hecho de que es un vértice y no lo haya visto), que $\omega_1+\ldots+\omega_v=\frac{2\pi}{e}$ .

Ahora bien, como $\tau$ y $\omega$ están en $\Gamma$ entonces para cualquier punto $z$ en $\partial F$ excepto $\zeta,\zeta',i$ Hay un punto diferente en $\partial F$ ( $\tau z$ si está en las líneas rectas, $\omega z$ si está en el arco circular) equivalente a ella. Pero entonces, para todos estos puntos, tenemos $\omega_v=\pi$ y por lo tanto, $e=\frac{2\pi}{\omega_1+\ldots+\omega_v}\leq\frac{2\pi}{\pi+\pi}=1$ y por lo tanto, estos puntos no son elípticos.

La diferencia es que $i$ es tomada por $S$ a sí mismo, y que los ángulos interiores a $\zeta$ y $\zeta'$ son inferiores a $\pi$ que es lo que hace que estos puntos sean especiales.

La mayor razón para pensar que mi argumento es correcto es que utiliza la fórmula de $i$ que no es un vértice como lo definió antes, pero creo que no importa ya que no lo utiliza en la prueba.