$\lim_{t \to \infty}\zeta(\frac{1}{2} + it)$

Question

Estoy aprendiendo sobre la función zeta, soy un principiante. Estoy tratando de encontrar:

$$\lim_{t \to \infty}\zeta(\frac{1}{2} + it)$$

Del libro Theory of the Riemann zeta-function-clarendon de Titchmarsh en el teorema 8.12 Lo sé:
Si $\frac{1}{2} \leq \sigma < 1$ el $|\zeta(\sigma + it)|> e^{\log^{\alpha}y}$ con $\alpha < 1- \sigma $ y para algunos valores indefinidamente grandes de $t$

En mi caso, si $0<\alpha<\frac{1}{2}$ entonces desde $ |\zeta(1/2 + it)|> e^{\log^{\alpha}t}$ para algunos valores indefinidamente grandes de $t$ desde $t \to \infty$ entonces no sé si eso es suficiente para concluir que $$\lim_{t \to \infty}\zeta(\frac{1}{2} + it) $$ no converge.

Por favor, cualquier ayuda es buena.

Answer 1

Como comenta @Gary, hay cierta indefinición y confusión en los enunciados de la pregunta, y en los hechos supuestamente citados.

Un punto muy claro es que ya se sabe que hay infinitos ceros en la línea crítica (Levinson... Conrey... demostró que al menos 2/5 (?) más o menos están en la línea...), pero/y lejos de los ceros zeta crece. Así que no hay un límite real de $\zeta({1\over 2}+it)$ como $t\to \infty$ .

Naturalmente, con o sin RH, las cosas son aún más caóticas a la derecha de $\Re(s)={1\over 2}$ . Por ejemplo, el teorema de universalidad de Voronin indica de forma abrumadora que no hay asintóticas elementales en ninguna línea vertical a la derecha de $\Re(s)={1\over 2}$ . Excesivo, sí, pero realmente decisivo.

Pero/y, tal vez su verdadera pregunta pueda ser más refinada...

Answer 2

Por el teorema de Titchmarsh, $$ \mathop {\lim \sup }\limits_{t \to + \infty } \,\left| {\zeta\! \left( {\tfrac{1}{2} + it} \right)} \right| = + \infty . $$ También sabemos que hay un número infinito de ceros a lo largo de la línea crítica (con un punto de acumulación en el infinito), por lo que $$ \mathop {\lim \inf }\limits_{t \to + \infty } \,\left| {\zeta\! \left( {\tfrac{1}{2} + it} \right)} \right| = 0. $$ Como ambos no son iguales, el límite $\lim_{t \to + \infty } \left| {\zeta\! \left( {\tfrac{1}{2} + it} \right)} \right|$ no existe, y por tanto el límite $\lim_{t \to + \infty } \zeta\! \left( {\tfrac{1}{2} + it} \right)$ no existe.