Demostrando que la arclitud es el sumo de todas las aproximaciones poligonales

Question

Demostrar que la arclitud de un camino parametrizado rectificable es la suma de todas las aproximaciones poligonales de la arclitud.

Una ruta parametrizada $\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ es rectificable si existe un número $l$ tal que para cada $\epsilon>0$ Hay un $\delta>0$ de manera que si $P=\{x_0,...,x_m\}$ de $[a,b]$ con $||\mathcal{P}||<\delta$ entonces $$|\sum\limits_{i=1}^{m}||\gamma(x_i)-\gamma(x_{i-1})||-l| <\epsilon$$ .

No tuve ningún problema en demostrar que $l-r$ no es un límite superior para cualquier $r>0$ ya que este resultado está básicamente incorporado en la definición. Sin embargo, tengo una dificultad para mostrar $l$ es un límite superior del conjunto de todas las aproximaciones poligonales de arclitud. Intenté demostrar que dada cualquier partición $P$ y el refinamiento $P'$ de $P$ que la aproximación poligonal con respecto a la partición $P'$ es mayor que $P$ . Sin embargo, no pude averiguar cómo usar eso para mostrar que $l$ es un límite superior para todas las aproximaciones poligonales. ¿Cómo puedo demostrarlo?

También intenté demostrar que si $P$ , $P'$ son dos particiones cualesquiera de $[a,b]$ con $||P'||<||P||$ entonces la aproximación poligonal para la partición con respecto a $P'$ debe ser mayor que para $P$ . Entonces, como $l=\lim\limits_{||P|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^m||\gamma(x_i)-\gamma(x_{i-1})||$ debe ser que $l$ es un límite superior, pero no lo sé. También vi una solución que decía que la respuesta es obvia por geometría, lo que intuitivamente parece correcto, pero no sabía cómo demostrarlo usando la geometría.

Answer 1

Tenga en cuenta que cualquier refinamiento de una aproximación poligonal debe tener al menos la misma longitud de trayectoria. Esto se deduce de la desigualdad del triángulo. Porque si tenemos una aproximación poligonal $P = \{x_0, ..., x_m\}$ y sustituimos $x_i, x_{i + 1}$ con $x_i, y, x_{i + 1}$ , entonces sustituimos la longitud $||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})||$ con la longitud $||\gamma(x_i) - \gamma(y)|| + ||\gamma(y) - \gamma(x_{i + 1})||$ y sabemos que $||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})|| = ||\gamma(x_i) - \gamma(y) + \gamma(y) - \gamma(x_{i + 1})|| \leq ||\gamma(x_i) - \gamma(y)|| + ||\gamma(y) - \gamma(x_{i + 1})||$ por la desigualdad del triángulo.

Consideremos ahora una aproximación poligonal $P = \{x_0, ..., x_m\}$ . Queremos demostrar que $\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} ||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})|| \leq l$ . Supongamos lo contrario: es decir, que $\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} ||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})|| > l$ . Entonces dejemos que $\epsilon = \sum\limits_{i = 0}^{m - 1} ||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})|| - l$ . Tome $\delta$ tal que para todo $||Q|| = ||\{y_0, ..., y_n\}|| < \delta$ , $||\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} ||\gamma(y_i) - \gamma(y_{i + 1})|| - l|| < \epsilon$ . A continuación, tome un refinamiento $Q = \{y_0, ..., y_m\}$ de $P$ tal que $||Q|| < \delta$ . Entonces vemos que $\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} ||\gamma(y_i) - \gamma(y_{i + 1})|| \geq \sum\limits_{i = 0}^{m - 1} ||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})|| > l$ . Entonces $||\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} ||\gamma(y_i) - \gamma(y_{i + 1})|| - l|| = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} ||\gamma(y_i) - \gamma(y_{i + 1})|| - l \geq \sum\limits_{i = 0}^{m - 1} ||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})|| - l = \epsilon$ . Contradicción.

Así, vemos que $\sum\limits_{i = 0}^{m - 1} ||\gamma(x_i) - \gamma(x_{i + 1})|| \leq l$ . Así que $l$ es un límite superior, como se requiere.