Este es un enfoque que le puede gustar: deje que $\lambda = \cos \theta + i \sin \theta$ . Sea $v \in \Bbb C^2$ denota el vector propio de $M$ asociado a $\lambda$ . Entonces la matriz $T$ cuyas columnas son las partes real y compleja de $v$ son tales que $$ M = TR(-\theta)T^{-1}. $$ Por lo tanto, este $T$ es tal que $T(S^1)$ es la sección cónica conservada por $M$ .
Para ver que esto es así, observe que $$ Mv = \lambda v = (\cos \theta + i \sin \theta) (v_R + iv_I) = (\cos \theta v_R - \sin \theta v_I) + i(\sin \theta v_R + \cos \theta v_I). $$ De ello se desprende que $$ Mv_R = \operatorname{Re}[Mv] = \cos \theta \,v_R - \sin \theta v_I,\\ Mv_I = \operatorname{Im}[Mv] = \sin \theta v_R + \cos \theta v_I. $$ Una vez que haya $T$ no es demasiado difícil de encontrar $T(S^1)$ .
Podemos hacer las cosas aún más directas. Tenga en cuenta que $$ M^\top = T^{-\top}R(\theta) T^\top. $$ Encontrar el vector propio $v$ de $M^\top$ asociado a $\lambda$ . Las partes real e imaginaria de este vector propio forman las filas de $T^{-1}$ . Ahora, la ecuación de $T(S^1)$ viene dada por $\|T^{-1}(x_1,x_2)\| = 1$ . En otras palabras, $$ (v_{R,1} x_1 + v_{R,2}x_2)^2 + (v_{I,1}x_1 + v_{I,2} x_2)^2 = 1. $$ Tenga en cuenta que $v$ puede expresarse explícitamente en términos de las entradas de $M$ como $$ v = (m_{21}, \lambda - m_{11}). $$
