Tasa de convergencia del método de Newton cerca de una raíz doble.

Question

Supongamos que $r$ es una raíz doble de $f(x)=0$ eso es, $f(r)=f(r)=0$ pero $f''(r)\ne 0$ y supongamos que f y todas las derivadas hasta la segunda son continuas en alguna vecindad de $r$ . Demostrar que $e_{n+1} 1/2 e_n$ para el método de Newton y así concluir que la tasa de convergencia es lineal cerca de una raíz doble. (Si la raíz tiene multiplicidad $m$ entonces $e_{n+1} [(m 1)/m]e_n$ .)

Entiendo perfectamente el método de Newton y su cálculo. Sin embargo, esta pregunta es un poco confusa y no entiendo muy bien lo que debo hacer. Gracias por la ayuda.

Answer 1

En una raíz simple de una zona suficientemente suave $f$ se obtiene una convergencia cuadrática cerca de la raíz, es decir $e_{n+1}\approx Ce_n^2$ si $e_n$ es lo suficientemente pequeño. En una raíz múltiple o lejos de un grupo de raíces la convergencia es lineal, peor cuanto mayor sea la multiplicidad. Hay que cuantificar esta convergencia lenta.

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Dejemos que $r$ sea una raíz de multiplicidad $m$ . Entonces se puede extraer $m$ factores lineales $(x-r)$ de $f$ para que $f(x)=(x-r)^mg(x)$ , $g(r)\ne 0$ , $g$ al menos diferenciable. Entonces $$f'(x)=m(x-r)^{m-1}g(x)+(x-r)^mg'(x)$$ y el paso de Newton da $$ x_{n+1}-r=x_n-r-\frac{(x_n-r)^mg(x_n)}{m(x_n-r)^{m-1}g(x_n)+(x_n-r)^mg'(x_n)} \\~\\ =\frac{(m-1)g(x_n)+(x_n-r)g'(x_n)}{mg(x_n)+(x_n-r)g'(x_n)}(x_n-r) $$ lo que implica, utilizando $g(x_n)=g(r)+g'(r)e_n+...$ \begin{align} e_{n+1} &=\frac{(m-1)g(r)+me_ng'(r)+O(e_n^2)}{mg(r)+(m+1)e_ng'(r)+O(e_n^2)}e_n \\[1em] &=\frac{m-1}{m}\frac{m(m-1)g(r)+m^2e_ng'(r)+O(e_n^2)}{m(m-1)g(r)+(m-1)(m+1)e_ng'(r)+O(e_n^2)}e_n \\[1em] &=\frac{m-1}{m}\left(1+\frac{g'(r)+O(e_n)}{m(m-1)g(r)+O(e_n)}e_n\right)e_n \\[1em] &=\frac{m-1}{m}e_n+\frac{g'(r)}{m(m-1)g(r)}e_n^2+O(e_n^3) \end{align} que debería llevar directamente a la reclamación de su tarea.

Answer 2

Supongamos, para simplificar, que la raíz que buscamos es $r=0$ y que $$f(x)=x^m g(x),\qquad g(0)\ne0\ .$$ Entonces $$f'(x)=m x^{m-1}g(x)+x^m g'(x)=x^{m-1} g(x)\bigl(m + x g'(x)/g(x)\bigr)\ .$$ El método de Newton dice entonces que la aproximación $x$ de $r=0$ debe ser sustituido por $$x':=x-{f(x)\over f'(x)}=x-{x\over m+ x g'(x)/g(x)}=x\left(1-{1\over m+ x g'(x)/g(x)}\right)\ .$$ Esto implica que $${x'\over x}\approx{m-1\over m}$$ cuando $|x|$ es suficientemente pequeño, dependiendo del valor de $g'(0)/g(0)$ .