Número de soluciones de una ecuación exponencial

Question

Estoy tratando de demostrar que hay exactamente $0$ o $1$ soluciones en $x$ a la siguiente ecuación:

$A_0 + A_1B^{x} + A_2B^{2x} + ... + A_kB^{kx} = 0$

Todos los elementos son números reales, y $k$ es un número entero positivo.

Parece cierto, pero no consigo probarlo.

En realidad, la monotonía del lado izquierdo de la ecuación sería un resultado ideal para lo que estoy haciendo, así que si la hipótesis pudiera reforzarse a eso, sería genial.

NOTA: No he traducido correctamente esta hipótesis de su contexto original. La he actualizado. Entiendo que esto cambia totalmente la pregunta, me disculpo por la declaración errónea.

Answer 1

Set $y = B^x$ . Tras la sustitución, el lado izquierdo es un grado $k$ polinomio en $y$ . Debe esperar $k$ soluciones.

Si restringe $B$ o $x$ , es posible que puedas rechazar algunas de las raíces del polinomio como soluciones de tu ecuación. Sin embargo, en general no es difícil de arreglar, por lo que sospecho que es la restricción más probable que podría haber tenido en mente, para todos $k$ raíces del polinomio sean números reales positivos distintos, o incluso enteros positivos distintos.