En un artículo de la Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number#Aleph-one
Me encontré con la siguiente frase:
"Si el axioma de elección (AC) se utiliza, se puede demostrar que la clase de los números cardinales es totalmente ordenado."
Pero no, no la clase de los números ordinales totalmente ordenado (de hecho, bien ordenados) sin el axioma de elección? Al ser una subclase de la clase de los números ordinales, no es la clase de cardenales, obviamente, totalmente ordenado?
Si entiendo el problema correctamente, depende de su definición de cardenal. Si se define a los cardenales como inicial ordinales, entonces su argumento funciona bien, pero sin la opción que usted no puede demostrar que cada conjunto es equinumerous a algún cardenal. (Ya que AC es equivalente a que cada conjunto está bien disponible.)
Por otro lado, si usted tiene alguna definición que implica que cada conjunto es equinumerous a algún cardenal número, sin opción que usted no puede demostrar que cualquiera de los dos conjuntos (cualquiera de los dos cardenales) son comparables. (AC) es equivalente a: Para los dos conjuntos $A$, $B$ existe un inyectiva mapa de $A\to B$ o un inyectiva mapa de $B\to A$. Es catalogado como uno de las formas equivalentes si AC en la wiki.)
Los ordinales son bien ordenado, sin importar a cualquier supuesto de elección. Se define que la clase de los números ordinales es el más pequeño transitiva de la clase que puede ser bien ordenado, y la forma de una columna vertebral de modelos transitivos, es decir, si $M,N$ son dos modelos transitivos tienen el mismo ordinales, a continuación,$L^M=L^N$.
Sin el axioma de elección no son bien hacer pedidos conjuntos. Su cardinalidad, si es así, no es una $\aleph$ número. Podemos definir la cardinalidad de a $X$ como finito, o $\aleph_\alpha$ para algunos ordinal $\alpha$, en el caso de que $X$ puede ser bien ordenado, o como un definibles por el subconjunto de la clase de $A$'s de tal manera que hay un bijection entre el$X$$A$.
Por ejemplo, es coherente con el ZF que hay conjuntos infinitos que no se puede dividir en dos conjuntos infinitos (cada partición en dos conjuntos disjuntos se producen uno de ellos finito). Tal conjunto no tiene ni siquiera una contables subconjunto y, por tanto, incomparable con $\aleph_0$.
Para ver cómo el total de la orden de los cardenales es equivalente al axioma de elección:
Si el axioma de elección se mantiene, entonces todo conjunto puede ser bien ordenado y es finito o equivalente a un $\aleph$-el cardenal. Por lo tanto, todos los cardenales se $\aleph$'s y los cardenales son totalmente ordenado (y bien ordenado, demasiado).
Por otro lado, si los cardenales son totalmente ordenado, dado un conjunto $X$ denotar $H(X)$ menos ordinal $\alpha$ tal que no es inyectiva función de $\alpha$ a $X$.
Se puede demostrar que $\alpha$ $\aleph$ cardenal (por el hecho de que no tiene bijection con menor ordinales que son inyectable en $X$), y $\alpha\nleq|X|$.
Por la suposición de que cardinalidades de todos los conjuntos son comparables $|X|$ es comparable con $\alpha$, por lo $|X|<\alpha$, y tenemos que $X$ puede ser inyectado en la $\alpha$, por lo que hereda un orden bien de dicha inyección.
Por lo tanto, todos los conjuntos bien ordenados, que es equivalente al axioma de elección.
(El plazo para el que he utilizado para $H(X)$ es también conocido como Hartogs número)
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