Integral de Riemann de $f(x)=2rx$

Question

Definir $$f(x)= \begin{cases}2rx,&\text{if }\frac{1}{r+1}<x<=\frac{1}{r}; r=1,2,...\\ 0,&\text{if } x=0. \end{cases}$$ Demostrar que $f$ es integrable de Riemann en [0,1] y encontrar la integral $f$ de $0$ a $1$ .

Desde $f$ tiene infinitos puntos de discontinuidad, pero sólo tiene un punto límite $0$ es integrable en Riemann. Ahora, aquí está la confusión, traté de encontrar el valor de integración usando la suma superior de Darboux y obtuve la respuesta como $2$ como l.u.b de todas las particiones será $2$ y $U(f,p)=2-1/(n+1)$ . Por lo tanto, después de aplicar el límite la respuesta debe ser $2$ pero es incorrecto. ¿Dónde me he equivocado?

Answer 1

Piensa en esto: \begin{align*} \int_0^1 f(x)\,dx = \sum_{r=1}^\infty\int_{1/(r+1)}^{1/r} f(x)\,dx &= \sum_{r=1}^\infty\int_{1/(r+1)}^{1/r} 2rx\,dx = \sum_{r=1}^\infty \frac{2r+1}{r(r+1)^2}\\ &= \sum_{r=1}^\infty \left(\frac1{(r+1)^2} + \frac1r - \frac1{r+1}\right). \end{align*} Ahora bien, es bien sabido que $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac1{n^2} = \dfrac{\pi^2}6$ . ¿Puedes terminar?