Esto es básicamente un comentario extendido:
En primer lugar, es importante señalar que las técnicas de la QFT se han aplicado al problema de la turbulencia hidrodinámica durante algún tiempo. El último postdoc de Einstein, Robert Kraichan Los utilizó para formular su formalismo DIA (Aproximación de Interacción Directa), que probablemente sigue siendo el mayor conocimiento teórico de la turbulencia, además del trabajo de Kolmogrov de 1941 y los primeros trabajos de Reynolds/Taylor/Prandtl. Recomiendo encarecidamente el libro " Un viaje a través de las turbulencias " para conocer algo de la historia y las técnicas empleadas en este cenagoso tema (también hay conferencias asociadas a este libro en youtube, que pueden encontrarse aquí ).
Sin embargo, la QFT es intrínsecamente diferente a la turbulencia hidrodinámica porque hay una separación de escalas (las interacciones de las partículas en la QFT se toman como $weak$ ), por lo que se puede truncar el orden de interacción y converger a la física observada. Es decir, dejemos que el Lagrangiano esté dado por (en el sentido del principio de Hamilton) $$L=\epsilon^0 L_0+\epsilon^1L_1+...,$$
donde $\epsilon$ es algún parámetro pequeño (es decir, una relación adimensional de las cantidades físicas que surgen en las ecuaciones de movimiento, por ejemplo, la relación entre un flujo medio y una perturbación). En QFT, $\epsilon<<1$ y se puede truncar $L$ después de un cierto número de términos (digamos, 4) y obtener una teoría matemática que converge hacia la realidad física que se observa.
Lo mismo, vestido de forma ligeramente diferente, ocurre en la turbulencia, donde un $closure$ para resolver las ecuaciones de momento. Los métodos que se suelen utilizar, por ejemplo, las suposiciones cuasinormales, son análogos a hacer suposiciones sobre la fuerza de las interacciones. Sin embargo, en la turbulencia estas interacciones no son débiles (y una serie como la escrita anteriormente para $L$ puede no converger), por lo que estas aproximaciones no describen completamente las observaciones.
Llegando a tu pregunta - utilizar un enfoque variacional no simplificará ninguna de las cuestiones mencionadas anteriormente, ya que en algún momento hay que hacer aproximaciones (aunque sean del orden de la acción). Sin embargo, desde el punto de vista del análisis numérico, trabajar con un langrangiano o hamiltoniano puede ser muy útil en mecánica de fluidos, ya que permite conocer a priori cuáles son las leyes de conservación del sistema truncado, sirviendo como pruebas adicionales sobre la validez de la salida del modelo.
Otras cosas:
El artículo al que haces referencia es idiosincrásico y no presenta un Lagrangiano para las ecuaciones de movimiento completas (hace un ansatz sobre el término de presión). La mejor revisión sobre la mecánica de fluidos hamiltoniana la ofrece Salmon (1988).
Hay ejemplos de turbulencia que se describen eficazmente mediante métodos teóricos de campo que utilizan un hamiltoniano porque poseen separación de escala. En particular, la turbulencia ondulatoria débil (en la que se supone que las ondas tienen una pendiente pequeña y son de banda estrecha) de las ondas superficiales se examina de esta manera (Zakharov ganó una medalla Dirac por esto en 2003, junto con Kraichnan).
