Cómo factor de $x^6+x^5-3\,x^4+2\,x^3+3\,x^2+x-1$ a mano?

Question

Sé que

$x^6+x^5-3\,x^4+2\,x^3+3\,x^2+x-1 = (x^4-x^3+x+1)(x^2+2x-1)$

pero yo no sé cómo hacer que el factoring sin un software.

Alguna idea? Gracias!

Answer 1

La ecuación es capicúa (bueno, casi), así que:

Se puede escribir como $$x^3\left[x^3+x^2-3x+2+\frac 3x+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right]$$ $$=x^3\left[(x^3-3x+\frac 3x-\frac{1}{x^3})+\left((x-\frac 1x)^2+2\right)+2\right]$$ $$=x^3\left[u^3+u^2+4\right],$$ where $u=x-\frac 1x$ Y, por tanto, la factorización es$$x^3(u+2)(u^2-u+2)$$, lo que nos dará la respuesta esperada.

Answer 2

Una posibilidad es escribir un producto genérico

$x^6+x^5-3x^4+2x^3+3x^2+x-1=(x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0)(x^2+b_1x+b_0)$

a continuación, expanda el lado derecho y comparar los dos polinomios, la obtención de

\begin{cases} &a_0 b_0=-1,\\ &a_0 b_1+a_1 b_0=1,\\ &a_0+a_1 b_1+a_2 b_0=3,\\ &a_1+a_2 b_1+a_3 b_0=2,\\ &a_2+a_3 b_1+b_0=-3,\\ &a_3+b_1=1 \end{casos}

que puede ser resuelto fácilmente por entero de soluciones.
El mismo podría ser juzgado por un producto de dos polinomios de tercer grado, sin ningún tipo (entero) de soluciones.

Answer 3

Tenga en cuenta que $(x - 1/x)^{2k}$ da $x^{2k} + x^{-2k}$ y otros simétrica términos, y $(x - 1/x)^{2 k + 1} = x^{2 k + 1} - x^{- 2 k - 1}$ y otros términos, parece que debido a la simetría de los coeficientes dividiendo por $x^3$ puede reducir el grado de un cúbicos en $x - 1/x$, e ir de allí.

Answer 4

Esto no es factible. Dado un azar polinomio de grado alto y ninguna otra información, no existe una forma fácil para factorizar el polinomio sin ayuda del ordenador. A veces se puede hacer el progreso mediante la Teoría de Galois y buscando en las propiedades de extensiones, pero que no siempre se dan suficiente información.

Para polinomios de grado mayor que $4$, el factoring no es una tarea que realmente puede ser hecho a mano. En los casos de grado menor que $5$, no es una ecuación que se puede utilizar para encontrar las habitaciones, y, a continuación, realizar ingeniería inversa de los factores. En el grado 5 o 6 caso es posible que a la fuerza bruta, pero el cálculo es largo y difícil de hacer sin un equipo (y requiere el cálculo de la inversa de una matriz de tamaño $\deg(f)$). Para resolverlo por la fuerza bruta, la que escribe todos los posibles factores con coeficientes genéricos y, a continuación, intente resolver el sistema resultante de ecuaciones.

Answer 5

El racional de la raíz teorema resulta ser de ninguna utilidad en este caso.

Usando una Calculadora Gráfica

Me gustaría, en primer lugar de inicio mediante el método de Newton para encontrar algunos aproximado de las raíces y el factor probablemente con el uso de la división sintética. El uso de una calculadora y en newtons método conseguí $x=0.414...$ ser una respuesta, que luego tengo la sospecha de ser $x=-1+\sqrt{2}$ y cheque para ser verdad. Y por la irracionalidad de la raíz teorema sé que otra raíz es $x=-1-\sqrt{2}$. Multiplicando los dos factores de $(x+1+\sqrt{2})(x+1-\sqrt{2})$ consigue otro factor de $x^2+2x-1$. A partir de aquí es sólo la división larga. Tome nota de que tuvimos mucha suerte, sin embargo, debido a que fueron capaces de reconocer nuestra aproximación como un familiar número, por lo general se acaba de ser atrapado con aproximaciones. Pero las aproximaciones pueden dejar de ser útiles, especialmente cuando usted consigue dos aproximado de las raíces que se diferencian por un aproximado de número racional.