Diferenciabilidad y continuidad de una función a trozos.

Question

Considere

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \quad \text{if $x=0$}\\ \frac{1-\cos 2x}{x} & \quad \text{otherwise} \end{array} \right.$$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

1. $f$ es continua

2. $f$ es diferenciable

3. $f$ es continuamente diferenciable

Answer 1

1. Sí, y fácil de comprobar.
2. Sí, también es fácil de comprobar.
3. Sí, también. Para ver esta parte:

$f'(0) = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-cos(2x)}{x^2} = \displaystyle \lim_{x \to 0} 2\dfrac{sin^2x}{x^2} = 2$ ,

y $f'(x) = 4\cdot \dfrac{sin(2x)}{2x} - \dfrac{1-cos(2x)}{x^2}$ pour $x \neq 0$ .

Utilizando la regla de L'hopital podemos comprobar que $f'(0) = 2 = \displaystyle \lim_{x \to 0} f'(x)$ . Así, $f'(x)$ es continua en $x = 0$ y, por tanto, continuamente diferenciable.

Answer 2

Ahora tienes que comprobar la continuidad en $x=0$ . Dado $\epsilon \gt 0$ si existe un $\delta \gt 0$ tal que $|x| \lt \delta$ $$\implies |\frac{1-cos2x}{x}|=|\frac{2sin^2x}{x}| \le|\frac{2x^2}{x}|=|2x| \lt 2\delta=\epsilon$$ S0 para $$\delta = \frac{\epsilon}{2}$$ tenemos $|f(x)-f(0)| \lt \epsilon$ y, por tanto, según nuestra definición $f$ es continua.

Para la diferenciabilidad $$\lim_{h\to 0}\frac{1-cos2h}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{2sin^2h}{h^2}=2$$ . Por lo tanto, $F$ es diferenciable en $x=0$ .

Desde aquí se puede ver el (iii) espero