Relación entre estas dos funciones de masa de probabilidad

Question

Si tengo dos distribuciones discretas diferentes de variables aleatorias X e Y, tales que sus funciones de masa de probabilidad están relacionadas como sigue:

$P(X=x_i) = \lambda\frac{P (Y=x_i)}{x_i}$

¿Qué puedo deducir de esta ecuación? ¿Alguna observación o propiedad interesante que veas a partir de esta relación?

Y si..,
P( $X=x_i$ ) = $\lambda\sqrt{\frac{P (Y=x_i)}{x_i} }$

En ambos casos, $\lambda$ es una constante.

Answer 1

Si se reescribe la ecuación como $P(Y = x) = xP(X = x)/\lambda$ entonces la distribución de $Y$ se denomina distribución con sesgo de longitud para $X$ . surge, por ejemplo, si uno tiene un montón de palos en una bolsa y mete la mano y selecciona uno al azar - donde la probabilidad de que un palo en particular sea seleccionado es proporcional a su longitud. si las longitudes de los palos son realizaciones de la variable aleatoria $X$ la distribución de la longitud del palo seleccionado es la de $Y$ .

Answer 2

Todavía no tengo suficiente reputación, o esto sería un comentario.

Una variable aleatoria sólo puede tener una función de masa de probabilidad, por lo que no está claro lo que preguntas. ¿De dónde salen estas ecuaciones?

Answer 3

En primer lugar, no tienes la libertad de elegir $\lambda$ . (¿Quizá ya se ha dado cuenta de ello?) Para que $P(X = x_i)$ para ser una verdadera distribución de probabilidad, debe tener $$\lambda = \left(\sum_{x_i} \frac{P(Y = x_i)}{x_i}\right)^{-1}.$$

Dado que, si $Y$ est geométrico con probabilidad de éxito $p$ y $P(X = x_i) = \lambda P(Y = x_i)/x_i$ entonces $X$ tiene la distribución logarítmica con el parámetro $q = 1-p$ .

He aquí la razón: $P(Y = k) = (1-p)^{k-1}p$ , para $k = 1, 2, \ldots$ . Así, $$P(X = k) = \lambda \frac{P(Y = k)}{k} = \lambda \frac{q^{k-1} p}{k} = \frac{\lambda p}{q} \frac{q^k}{k}.$$ La expresión de la derecha es la función de masa de probabilidad logarítmica con $\lambda = \frac{-q}{p \ln p}$ .