Cómo justificar la definición $E = p^0$ ?

Question

En la relatividad especial, dada la trayectoria de una partícula $\gamma(\tau)$ podemos definir el cuatro momento de una partícula de masa $m$ por

$$p^\mu = m U^\mu$$

Donde tenemos las cuatro velocidades

$$U^\mu=\dfrac{dx^\mu}{d\tau}.$$

Si queremos ser un poco más rigurosos, $\gamma : \mathbb{R}\to M$ es una línea del mundo en el espacio-tiempo, $U=\gamma'$ es su vector tangente y definimos un campo vectorial a lo largo de $\gamma$ por $p = mU$ . Si introducimos un gráfico $(V,x)$ en el conjunto abierto $V\subset M$ con funciones de coordenadas $x^\mu$ tenemos componentes $U^\mu = (x^\mu\circ \gamma)'$ y $p^\mu = mU^\mu$ .

Por supuesto, en la relatividad especial $M = \mathbb{R}^4$ y podemos elegir el sistema global trivial para que las ecuaciones de las componentes sean válidas en todo el espaciotiempo.

Ahora, en ese escenario, uno define $p^0$ para ser la energía de la partícula. De hecho, citando a Schutz:

En algún marco $\mathcal{O}$ tiene componentes que se denotan convencionalmente como

$$p\to (E,p^1,p^2,p^3)$$

Llamamos $p^0$ el energía $E$ de la partícula en el marco $\mathcal{O}$ . Los otros componentes son su momento espacial $p^i$ .

Ahora bien, si queremos definir la energía, lo mejor es definirla como el generador de las traslaciones del tiempo. Esto es lo que realmente es en la Mecánica Clásica, y es la forma de definirla en la Mecánica Cuántica (después de todo, el postulado de la ecuación de Schrödinger sólo dice que cualquiera que sea el nombre que le demos al operador energía debe actuar como generador de traducciones temporales).

En ese sentido, teniendo en cuenta que queremos que la energía sea la generadora de las traslaciones temporales, ¿cómo podemos justificar $p^0$ siendo la energía de la partícula? ¿Cómo podemos motivar esta definición?

Answer 1

Dejemos que $\gamma:\mathbb{R}→\mathcal{M}$ sea la línea del mundo en el espacio-tiempo $\mathcal{M}$ de una partícula de masa $m$ , siendo $U=\gamma^\prime$ es su vector tangente. Como $m$ es una partícula masiva $U\cdot U =-1$ (es decir, la velocidad es temporal y normalizable).

Entonces defina $P = m\cdot U\Rightarrow U =\frac{1}{m}P$ . Con la normalización de la velocidad $P\cdot P =-m^2$ . Para los índices espaciales es fácil ver que $P^i=p^i$ donde $\vec{p}$ es el momento típico. Así que $P\cdot P = -m^2 = -(p^0)^2+\vec{p}^2$ .

Utilizando la relación de Einstein $E^2 = m^2+\vec{p}^2$ obtenemos:

$$P\cdot P = -m^2 = -(p^0)^2+\vec{p}^2 = -(p^0)^2 +E^2-m^2\Rightarrow (p^0)^2 = E^2$$