¿Otros invariantes de homotopía?

Question

La idea de utilizar mapas de una secuencia de objetos estándar simples en un espacio topológico $X$ como $probes$ para explorar su topología es omnipresente. Se organizan estos mapas en clases de equivalencia de tal manera que la colección de clases adquiere una bonita estructura algebraica. Estos invariantes algebraicos sirven entonces para reconocer $X$ o distinguirlo de otros.

Una de esas secuencias es, por supuesto, la señalada $n$ -esferas, clases de mapas de homotopía a partir de las cuales se obtienen grupos de homotopía, $\pi_n (X)$ .

¿Ha sido útil considerar otras secuencias de espacios simples para la construcción de invariantes, por ejemplo, clases de homotopía de mapas de $n$ -tori, o del género $n$ tori? ¿O pueden expresarse siempre de forma sencilla en términos de grupos de homotopía y son, por tanto, redundantes? ¿O son demasiado difíciles de calcular? ¿O carecen de buenas propiedades? O ...

Answer 1

Un tema candente durante 20 años, a partir de mediados de la década de 1980, fue la exploración de los espacios mediante la `probación' con los espacios $BV$ donde $V$ es un grupo de la forma $(\mathbb Z/p)^n$ con $p$ un primo. Es un teorema de Jean Lannes, basado en el trabajo de Haynes Miller, que, bajo hipótesis muy suaves, el conjunto de mapas $[BV,X]$ es un functor muy computable de $H^*(X;\mathbb Z/p)$ , visto como un álgebra dotada de operaciones de Steenrod. Incluso mejor: $H^*(Map(BV,X);\mathbb Z/p) = T_VH^*(X;\mathbb Z/p)$ , donde $T_V$ es un maravilloso functor algebraico descubierto por Lannes.

Esto tuvo muchas aplicaciones a una amplia gama de problemas, que van desde la clasificación de los anillos de polinomios que se pueden realizar como la cohomología de un espacio, hasta el teorema de que, si $H^*(X;\mathbb Z/p)$ tiene una dimensión total infinita como $\mathbb Z/p$ espacio vectorial, entonces también debe ser infinitamente generado como un módulo sobre el álgebra de Steenrod.

Answer 2

Por otra parte, la historia es también muy hermosa. En lugar de que los espacios se mapeen en un espacio razonable $X$ se pueden observar los mapeos de $X$ en los espacios. Por supuesto, para cualquier espacio $Y$ las clases de homotopía $ X\rightarrow Y$ es un invariante de homotopía para $X$ . Pero esto es muy difícil de calcular en general, porque el conjunto $[X,Y]$ no tiene ninguna estructura. Sin embargo, si el espacio(s) $Y$ tienen estructura (por ejemplo, se sitúan en un espectro) se dispone de mucha más estructura, lo que permite calcular estas clases de homotopía. Este es el caso de cualquier teoría de cohomología (generalizada): Esto incluye la cohomología singular (mapas en espacios de Eilenberg-Maclane), $K$ -(mapas en operadores de Fredholm), cohomotopía (mapas en esferas), bordismo (mapas en espacios universales de thom) y mucho más. Para obtener invariantes homológicos generalizados, se pueden considerar los grupos de homotopía de $Y\wedge X$ que no es exactamente lo que has preguntado.

También hay algunas afirmaciones generales sobre lo que $Y$ debe ser tal que $[X,Y]$ y $[Y,X]$ forman la estructura de un grupo. Esto es a lo que alude John Klein más arriba. No conozco demasiados invariantes que se utilicen a diario y que no surjan de esta manera (excepto quizá la categoría Lyusternik-Schnirelmann).