Supongamos que N es plano. Quiero concluir que $Tor_n(M,N)=0 \forall n>0$ y para cualquier módulo $M$ . Para demostrarlo tomé una resolución proyectiva $P_{.}$ de M y tensada con N. Por la suposición de que N es plana, ¿cómo puedo concluir que $P_{.} \otimes N$ ¿también es exacto? ¿Es cierto que si $A \to B \to C$ es exacta y N es plana implica $A \otimes N \to B \otimes N \to C\otimes N$ también es exacta. Por favor, ayúdeme.
Respuesta
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Tome $0\to K\to P\to M\to 0$ con $P$ proyectiva. Entonces la secuencia exacta larga te dice $$ \operatorname{Tor}_{n}(P,N)\to \operatorname{Tor}_{n}(M,N)\to \operatorname{Tor}_{n-1}(K,N) $$ es exacta para todo $n>1$ . Desde $P$ es proyectiva, $\operatorname{Tor}_{n}(P,N)=0$ para todos $n\ge1$ . Además $\operatorname{Tor}_{n-1}(K,N)=0$ por hipótesis inductiva. El caso base proviene de la exactitud de $$ \operatorname{Tor}_{1}(P,N)\to \operatorname{Tor}_{1}(M,N)\to K\otimes N\to P\otimes N $$ y la exactitud de $0\to K\otimes N\to P\otimes N$ .
