¿Cuándo, cómo y quién dio por primera vez este cálculo de $ \pi $

Question

Me encontré con este interesante método para calcular $ \pi $ . ¿Por qué es verdad y quién lo presentó primero?

Para calcular $ \pi $ multiplicar por $4$ el producto de fracciones formadas usando, como numeradores, la secuencia de primos $> 2$ es decir. $3,5,7,11,13,17$ etc. y utilizar como denominadores el múltiplo de $4$ que está más cerca del numerador y obtendrás el valor más exacto de $ \pi $ que te gusta. En otras palabras,

$$ \frac \pi 4 = \frac 3 4 \cdot \frac 5 4 \cdot \frac 7 8 \cdot \frac {11}{12} \cdot \frac {13}{12} \cdot \frac {17}{16} \cdots $$

Answer 1

Este resultado se debe a Euler, en un artículo publicado en $1744$ titulado " Variae observaciones circa series infinitas ".

Se puede encontrar una traducción al inglés del documento aquí y el resultado citado en la página $11$ en ese enlace.

La prueba se desprende de la expansión de la serie para $ \arctan $ dando: $$ \frac { \pi }{4}=1- \frac {1}{3}+ \frac {1}{5}- \frac {1}{7}+ \frac {1}{9}- \ldots $$ Así que tenemos eso: $$ \frac {4}{3} \cdot\frac { \pi }{4} = \left (1+ \frac {1}{3} \right ) \frac { \pi }{4} =1+ \frac {1}{5}- \frac {1}{7}- \frac {1}{11}+ \ldots $$ Deshacerse de la $1/3, 1/9$ y todos los demás múltiplos de $1/3$ . Repita el mismo truco para deshacerse de la $1/5, 1/10, 1/15$ etc: $$ \frac {4}{5} \cdot\frac {4}{3} \cdot\frac { \pi }{4} = \left (1- \frac {1}{5} \right ) \frac {4}{3} \cdot\frac { \pi }{4} =1- \frac {1}{7}- \frac {1}{11}+ \frac {1}{13}+ \ldots $$ Si continúa esta secuencia, todos los factores compuestos se eliminan, y usted se queda con valores cada vez más cercanos a uno a la derecha, y el inverso de su fórmula a la izquierda: $$ \cdots\frac {12}{11} \cdot\frac {8}{7} \cdot\frac {4}{5} \cdot\frac {4}{3} \cdot\frac { \pi }{4} = 1$$

Answer 2

Wikipedia lo atribuye a Euler, pero no tienen referencia a ningún recurso. Es difícil buscar una fórmula en Google, así que tuve que buscar "identidades pi" y "identidades pi de Euler". Comprobé un puñado de sitios más y todos atribuyen la identidad a Euler. Pero no encuentro ninguna información sobre la fecha o publicación/carta donde aparece esta identidad por primera vez.