Probar o refutar cualquier mapa continuo $f$ de $T^2$ a $RP^2$ es nulo-homotópico.

Question

He intentado resolver la siguiente cuestión: Demostrar o refutar cualquier mapa continuo f de $T^2$ a $RP^2$ es nulo-homotópico. Sabemos que la cobertura universal de $RP^2$ es $S^2.$ Quiero construir un mapa $g$ de $T^2$ a $S^2.$ Entonces, deduciré que como $S^2$ no es contraíble, entonces $g$ no es nulo-homotópico. ¿Cómo se construye un mapa así?

Answer 1

Con un poco más de trabajo tu idea funciona bien para construir un mapa no homotópico. Esta es una idea diferente a la que sugiere Amitesh Datta en los comentarios.

Recoge una pequeña bola en $T^2$ y colapsar todo lo que está fuera de ella. Esto da un mapa $f: T^2 \to S^2$ que induce un isomorfismo en la segunda homología, y por tanto no es nulo-homotópico. Compóngalo con la proyección $S^2 \to \Bbb{RP}^2$ .

Afirmo que el mapa $pf: T^2 \to \Bbb{RP}^2$ no es nulo-homotópico. Por construcción, $pf$ elevaciones a un mapa $f: T^2 \to S^2$ por lo que podemos levantar homotopías (y en particular, homotopías nulas) de $pf$ por la propiedad de elevación de homotopía, que los espacios de cobertura satisfacen. El punto final de esta elevación sería un mapa $T^2 \to S^2$ cuya imagen está contenida en dos puntos (la imagen inversa de un punto en $\Bbb{RP}^2$ en $p$ ); porque $T^2$ está conectado, la imagen está contenida en un solo punto.

De este modo, hemos construido una nula homotopía de $f$ , lo cual es imposible ya que $f$ induce un isomorfismo en la segunda homología - no puede ser nulo-homotópico. Así que $pf$ no era nulo-homotópico.