Demuestra que $\frac{\|\mathbf{u}\, +\,\mathbf{v}\|\, + \,\|\mathbf{u}\,-\,\mathbf{v}\|}{2} \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$

Question

Estoy seguro de que tenemos que utilizar la desigualdad del triángulo, es decir

$\|\mathbf{u} +\mathbf{v}\|\leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| $

Sin embargo, no encuentro la manera de proceder a partir de aquí.

Algo me dice que la prueba es sencilla pero no me llega.

Answer 1

Utilizando la desigualdad del triángulo en ambos valores absolutos del lado izquierdo se obtiene

$$\text{LHS (left hand side)} \leq \frac{||u|| + ||v|| + ||u|| + ||v||}{2} = \frac{2||u|| + 2||v||}{2} = ||u|| + ||v||_. $$

Answer 2

Por la desigualdad del triángulo,

$\|\mathbf{u} +\mathbf{v}\|\leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|,\quad\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|\leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|\;$ por lo que $\;\|\mathbf{u} +\mathbf{v}\|+\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|\leq 2(\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|).$