Determinar el grupo de Galois de $F$ en $E$

Question

Dejemos que $\Bbb{Q}\subseteq E\subseteq F$ sean campos tales que

• $F$ se genera sobre $\Bbb{Q}$ por una raíz n-ésima
• $E$ se genera sobre $\Bbb{Q}$ por todas las raíces de la unidad en $F$ Determina. $Gal(F/E)$

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Mi intento: Que $\alpha= \sqrt[n]{d}$ para algunos $d\in\Bbb{Q}$ y $\omega=e^{2\pi i/n}$ . Entonces $F=\Bbb{Q}(\omega^k\alpha)$ para algunos $k=1,2,...,n$ .

La pregunta se formuló en un examen de calificación. Creo que en esta pregunta falta un punto. Supongamos que $n=3=k$ y $d=2$ y $F=\Bbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ . Entonces las únicas raíces de la unidad en $F$ es 1 y -1. Así que tenemos $E=\Bbb{Q}$ . Pero $F$ no es Galois sobre $E$ .

¿Puede alguien comprobar mi intento? En el caso general, ¿cómo podemos determinar $E$ ? Gracias.

Answer 1

Esta es una pregunta engañosa. En mi uso, no se habla de $\text{Gal}(K/k)$ a menos que $K\supset k$ es Galois. Otros utilizan esa notación para el grupo de $k$ -automorfismos de $K$ .

Permítanme que haga de cuenta que los autores de la pregunta se referían a $F\supset E$ para ser Galois, como yo lo haría. Entonces me parece que hay dos casos, a saber, si la "raíz" es una raíz cuadrada, o es $d^{1/m}$ para $m>2$ .

En el caso de que la raíz en cuestión sea $\sqrt d$ hay dos subcasos, a saber $d$ es una no unidad, o $d=\pm1$ . Si $d$ es una no unidad, entonces $E=\Bbb Q$ y el grupo de Galois es trivial (si $d$ es un cuadrado) o cíclico de orden $2$ . Si $d=-1$ entonces $E=F=\Bbb Q(i)$ y el grupo de Galois es de nuevo trivial.

En el caso de que $m>2$ y luego ignorar los casos complicados como $\sqrt[4]4$ vemos que la única manera de que la extensión sea Galois es que $d$ para ser $\pm1$ y estamos adyacentes a alguna raíz de la unidad. En ese caso también, $E=F$ y el grupo de Galois es trivial.

Answer 2

La pregunta no decía que se mostrara $F$ es Galois sobre $E$ (que yo interpreto como una muestra de $F$ es un campo de división sobre $E$ ), pero para determinar $Gal(F/E)$ El grupo de automorfismos de $F$ en $E$ . En su ejemplo la única raíz cúbica de 2 en $F$ es el real, por lo que sólo el automorfismo de identidad "funciona", por lo que $Gal(F/E)$ es el grupo trivial.

Creo que el caso general cuando la raíz n-ésima extraída en F es real es $Gal(F/E)$ trivial cuando $n$ es impar, y es $Z_2$ cuando $n$ es par (porque entonces -1 es también una raíz de la unidad en $F$ ). Cuando la extracción $n$ -es compleja, hay que considerar la posibilidad de otras raíces de la unidad porque el conjugado de una $n$ -La raíz de la palabra "en" es de nuevo una $n$ -raíz, pero por las mismas razones sospecho de nuevo que la respuesta es $Z_2$ (o posiblemente $Z_3$ ?).