¿Se puede dar a todo complejo simplicial la estructura de los colectores?

Question

Sé que a algunas variedades se les puede dar la estructura de complejo simplicial por triangulación, pero ¿qué hay de la otra manera? ¿Se puede dar a cada complejo simplicial la estructura de los colectores? Si es así, ¿cómo lo hacemos? (¿cómo resolvemos las "sigularidades" de las esquinas?)

En concreto, si tenemos un complejo simplicial $A$ cuya estructura de colector está dada, denotada por $M$ ¿tenemos la siguiente relación?

1. $A$ no tiene límites $\rightarrow$ $M$ no tiene límites

2. $A$ está orientado (lo que siempre es cierto) $\rightarrow$ $M$ es orientable

Además, me pregunto si el coeficiente aquí es importante, pero básicamente quiero entender el caso más simple, es decir, el $\mathbb{Z}$ -coeficientes.

Editado: Hago la pregunta anterior porque leí los siguientes argumentos pero no entendí bien lo que significa (por eso mi pregunta anterior es confusa, lo siento):

Toda clase de homología integral de 2 dimensiones $A$ de un colector liso $X$ de dimensión dim $X \geq 3$ por definición puede ser representado por un mapa continuo definido en un complejo simplicial compacto de 2 dimensiones sin límite. A cada uno de estos complejos se le puede dar la estructura de un colector compacto suave sin límite (que en el caso de coeficientes enteros es orientable).

Answer 1

No todo complejo simplicial puede tener la estructura de un colector. Por ejemplo, un complejo unidimensional puede tener más de dos celdas 1 incidiendo en una celda 0. Un ejemplo más elaborado es el cono de un toroide, que no es un colector en el punto del cono.

Supongamos que su complejo simplicial es un espacio topológico con estructura de colector. Lo ideal sería que el complejo simplicial generara de algún modo la estructura de colector en el sentido de que el enlace de cada vértice (es decir, la unión de los símiles que inciden en él) fuera homeomorfo a una bola, pero resulta que hay algunos problemas en dimensiones mayores que 4, y hay complejos simpliciales que son homeomorfos a colectores pero que no llegan a ser "colectores PL" en sí mismos https://en.wikipedia.org/wiki/Triangulation_(topología)

Si el complejo simplicial que es homeomorfo a una variedad es en sí mismo una variedad PL, para responder a sus preguntas:

1. El límite de $A$ es el límite de $M$ .
2. $A$ es orientable si y sólo si $M$ es orientable. (¡No siempre es cierto que un complejo simplicial sea orientable! Por ejemplo, no es tan difícil hacer un complejo simplicial que sea homeomorfo a $\mathbb{R}P^2$ . De hecho, toda colector es homeomorfo a algún complejo simplicial).

Probablemente estás pensando en la homología cuando mencionas los coeficientes.