Identificar $E=\{a\in \Bbb R:\lim a^n A^n\text{exists and is different from zero}\}$

Question

Considere $A=$$ | izquierda ( \begin{array}{} 3 & 1\\ 2 & 4 \end{array} \(derecho)

Considere el conjunto $E=\{a\in \Bbb R:\lim a^n A^n\text{exists and is different from zero}\}$

¿Qué será? $E$ ?

Los valores propios de $A$ son $5,2$ . Si $v$ es un vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $\lambda$ entonces $A^nv=\lambda^nv\implies \lambda^n$ es un valor propio de $A^n$ correspondiente al vector propio $v$ .

Ahora $(a^nA^n) v=a^n(A^nv)=(a^n \lambda^n)v$

También $\lim (a^n \lambda^n)$ existe y es igual a cero sólo cuando $|a\lambda|= 1\implies |a|=\dfrac{1}{\lambda}\implies |a|=\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{5}$

Así que $E=\{\pm \dfrac{1}{5},\pm\dfrac{1}{2}\}$

¿Podría revisar mi solución? ¿Está bien o cuáles son las modificaciones necesarias?

Answer 1

He aquí un esquema de cómo resolvería el problema: $A$ tiene valores propios $5$ y $2$ . Eso significa que hay una base de $\Bbb R^2$ utilizando los correspondientes vectores propios de $A$ , digamos que $v_5$ y $v_2$ .

Tome cualquier vector $v\in \Bbb R^2$ . Se puede escribir como $c_5v_5+c_2v_2$ para algunos números reales $c_5,c_2$ . Ahora estudia $a^nA^nv$ y encontrar para qué valores de $a$ se cumplen las dos condiciones siguientes:

• $\lim_{n\to\infty}\|a^nA^nv\|$ no es infinito para cualquier $v$
• Hay algunos $v$ para lo cual $\lim_{n\to\infty}a^nA^nv$ existe y es distinto de cero

Answer 2

Como Arthur ha señalado mi error, permíteme que intente responder de nuevo.

EDITAR Como los valores propios son distintos, entonces $A$ es diagonalizable y supongamos que $P$ sea la correspondiente matriz modal no sinular con $D=diag(2,5)$ . Entonces

$A=P^{-1}DP\implies (aA)^n=P^{-1}(aD)^nP$

que existe y un IFF distinto de cero $(aD)^n\neq O$ para lo cual necesita $a=+ \frac{1}{5}$ .

$lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{5}D)^n=diag(0,1)$

$lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{-1}{5}D)^n=diag(0,\lim_{n\rightarrow\infty}(-1)^n)$

no existe de forma única.

$lim_{n\rightarrow\infty}(\pm\frac{1}{2}D)^n=$ no existe.