La ecuación funcional de Cauchy viene dada por
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
Wikipedia afirma que la solución de esta ecuación funcional con $x\in\mathbb Q$ est $f(x)=cx$ , donde $c$ es un número "racional arbitrario". Sin añadir más restricciones, no se puede resolver para $x\notin\mathbb Q$ .
No entiendo por qué tendríamos $c\in\mathbb Q$ a partir de mi prueba:
Para $x\in\mathbb N$ :
$$f(x)=f\left(\sum_{k=1}^x1\right)=\sum_{k=1}^xf(1)=xf(1)\tag{By Induction}$$
Esto se puede ampliar a $x\in\mathbb Z$ y por último $\mathbb Q$ .
Así que el problema se reduce a $f(x)=xf(1)$ y como podemos tener $f(1)$ para ser cualquier valor que queramos, $f(x)=cx$ para la arbitrariedad $c$ y racional $x$ . Pero, ¿por qué es que $f(1)$ ¿ser racional? ¿Por qué no tener $c\in\mathbb C$ ?
Y también quiero estar seguro de que no podemos resolver $x\notin\mathbb Q$ porque el paso de inducción no funciona sobre $\mathbb R$ . Por ejemplo, se puede decir $f(\pi)=100$ y así $f(\pi+x)=100+cx$ para $x\in\mathbb{Q}$ ¿cierto? Uno puede argumentar $f(0)=f(\pi)+f(-\pi)$ Así que voy a decir que sí, $f(-\pi)=-100$ que parece contradecir $f(\pi+x)$ pero no lo hace porque $x$ debe ser racional?"
