Porcentaje de contribución de múltiples factores a una única variable dependiente

Question

Tengo un conjunto de datos (observación en marcha a lo largo de una vía de crucero) que incluye una variable dependiente A y tres variables independientes B, C y D. Se sabe que A está relacionado con cada uno de los tres factores, por lo que quiero encontrar una relación numérica que me permita expresar A mediante B, C y D, y me gustaría poder evaluar la contribución relativa de cada variable independiente a A.

Soy consciente de que el PCA es la herramienta que hay que utilizar en esta situación, y lo he intentado en Excel, sólo para obtener un biplot en el que las cuatro variables se tratan por igual como el mismo tipo de variable dependiente, y la variable A se utiliza para explicar esos componentes principales. Lo que realmente quiero es ver cómo se comporta A bajo la influencia conjunta de B, C y D, y no me importa cómo se relacionan B, C y D entre sí.

(Estoy trabajando en MATLAB).

Answer 1

Como escribió Ameba en los comentarios, este es un problema de regresión múltiple y no tiene nada que ver con PCA (ver Regresión lineal en Wikipedia ). Aquí utilizo los supuestos estándar de un modelo lineal con ruido aditivo:

$$ A = b ~ B + c ~ C + d ~ D + k + E. $$

Aquí $b$ , $c$ y $d$ son los coeficientes de regresión escalar para sus tres variables explicativas, $k$ es un desplazamiento constante, y $E$ captura todo lo que no cabe en los otros términos (el error).

En Matlab, para calcular $A$ si se dieran todos los valores del lado izquierdo, se escribiría en notación matricial:

A = [B C D ones(n, 1)] * [b c d k]' + E

asumiendo que todas las variables se representan como vectores columna, y que $n$ es el número de puntos de datos.

Para resolver esta ecuación para los coeficientes $b$ , $c$ , $d$ y $k$ para un determinado $A$ puede utilizar el operador de barra invertida :

coeff = [B C D ones(n, 1)] \ A

Este operador da un solución por mínimos cuadrados , lo que significa $A$ se determina de forma que la suma de errores al cuadrado ( $\sum_{i = 1}^n E_i^2$ o sum(E .^ 2) en Matlab) es lo más pequeño posible. A continuación, puede extraer los coeficientes individuales:

b = coeff(1)
c = coeff(2)
d = coeff(3)

Estos coeficientes son estimaciones de la intensidad de las variables $B$ , $C$ y $D$ contribuir a $A$ .

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Tu título dice que te interesa un "porcentaje de contribución" de las variables independientes, y supongo que te refieres a porcentajes de varianza explicada. El problema es que si las variables $B$ , $C$ y $D$ están correlacionadas (comparten la varianza entre ellas), no hay una respuesta sencilla a esa pregunta, porque la varianza de sus contribuciones a $A$ que son $b ~ B$ , $c ~ C$ y $d ~ D$ no se combinan de forma aditiva. Suponiendo que no hay correlaciones, se pueden calcular esas contribuciones así:

var([B C D] * diag([b c d])) / var(A) * 100

que le da un vector de tres elementos con estimaciones de la contribución relativa en porcentaje de las tres variables independientes.