Galois Grupo de $X^p - 2$, p-un extraño prime

Question

La pregunta es para Determinar el grupo de Galois de $x^p-2$ por un extraño primer p.

Para encontrar el grupo de Galois, buscamos la división de campo de la $x^p-2$ que puede ser visto como $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ donde $\zeta$ es una primitiva $p^{th}$ raíz de la unidad.

Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\zeta) \subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$.sabemos que $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}(\zeta)$, nos encontramos con el Correspondiente Grupo de Galois decir $G_1$.

Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$. sabemos que $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ es de galois sobre $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})$, nos encontramos con el Correspondiente Grupo de Galois decir $G_2$.

A continuación, Grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ posiblemente sería Producto de estos dos subgrupos $G_1$ $G_2$ con alguna relación entre los generadores.

Para $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\zeta))$, considere la posibilidad de $\tau: \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ fijación $\zeta$ y el envío de $\sqrt[p]{2} \rightarrow \sqrt[p]{2}\zeta$.

$\tau(\sqrt[p]{2})=\sqrt[p]{2}\zeta$,

$\tau^2(\sqrt[p]{2})=\tau(\tau(\sqrt[p]{2}))=\tau(\sqrt[p]{2}\zeta)=\tau(\sqrt[p]{2})\tau(\zeta)=\sqrt[p]{2}\zeta^2$,

Por Razones similares, $\tau^{p}(\sqrt[p]{2})=\sqrt[p]{2}\zeta^p=\sqrt[p]{2}$.

Ningún poder de la $\tau$ menos de $p$ le da identidad como ningún poder de la $\zeta$ menos de $p$ le da identidad.

Por eso, $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\zeta)) \cong \mathbb{Z}_p \cong \big< \tau \big>$.

Para $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}))$, considere la posibilidad de $\sigma : \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ fijación $\sqrt[p]{2}$ y el envío de $\zeta \rightarrow \zeta^2$

$\sigma(\zeta)=\zeta^2$

$\sigma^2(\zeta)=\sigma(\sigma(\zeta))=\sigma(\zeta^2)=\zeta^{(2^2)}$

Por razones similares, $\sigma^{p-1}(\zeta)=\zeta^{(2^{p-1})}$ por cada $a\in \mathbb{F}_p$, $a^{p-1}=1$ tenemos, en particular,$2^{p-1} \equiv~1~mod~p$.

Por eso, $\sigma^{p-1}(\zeta)=\zeta^{(2^{p-1})}=\zeta$ ($\zeta$$p^{th}$ raíz de la unidad).

Ningún poder de la $\sigma$ menos de $p-1$ le da identidad como $2\in \mathbb{F}_p$ genera Multiplicativo grupo, ningún poder de la $2$ menos de $p-1$ puede ser igual a $1~mod~p$.

Por eso, $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})) \cong \mathbb{Z}_{p-1} \cong \big< \sigma\big>$.

Como $[\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta):\mathbb{Q}]=p(p-1)$ $|\sigma|=p-1$ $|\tau|=p$ siento que el grupo de Galois se debe posiblemente generados por $\sigma$ $\tau$ con "algo más de las condiciones relacionadas con el"Pero no es muy seguro para confirmar esto.

Yo no soy capaz de ir más lejos, puedo ver que $\sigma$ $\tau$ no conmuta con cada uno de los otros. Yo soy incapaz de producir un saber de grupo que contienen isomorfo copias de $\mathbb{Z}_{p-1}$ $\mathbb{Z}_p$ como subgrupos.

Yo estaría muy agradecido si alguien me puede ayudar en este caso.

Gracias.

Answer 1

Aquí podría ser el mejor para darse cuenta de que el grupo de Galois como un grupo de permutaciones de las raíces del polinomio de interés (como en user64494 el comentario de debajo de la OP). Usted ya haya observado que las raíces de $x^p-2$ $x_i=\zeta_p^{i-1}\root p\of 2, i=1,2,\ldots,p.$ Usted también sabe que la división de campo es de grado $p(p-1)$, por lo que también es el fin de el grupo de Galois.

Consideremos la acción de su automorphism $\tau$ definido por $\tau(\zeta_p)=\zeta_p$$\tau(\root p\of 2)=\zeta_p\root p\of 2$. Así que podemos ver que $\tau(x_i)=x_{i+1}$ si $i<p$, e $\tau(x_p)=x_1$. La acción de la $\tau$ en la elección de la indexación de las raíces por lo tanto corresponde a la $p$ciclo $\tau=(123\cdots p).$

Por otro lado, la automorphism $\sigma_a:x_1\mapsto x_1, \zeta_p\mapsto \zeta_p^a,1\le a<p,$ conserva la raíz real $x_1$ fijo, y permutes los otros de acuerdo a la regla de $x_i=x_1\zeta_p^{i-1}\mapsto x_1\zeta_p^{a(i-1)}=x_{1+a(i-1)}$, donde el subíndice se calcula el modulo $p$. Verá que todos estos comparten $x_1$ como un punto fijo (esto también queda claro a partir de su construcción de $\sigma$:s como elementos del grupo de Galois $G_2=Gal(\mathbb{Q}(x_1,\zeta_p)/\mathbb{Q}(\zeta_p))$.

Usted puede buscar todos los automorfismos como elementos de $S_p$. Esto funciona muy bien, una vez que han encontrado un generador de $G_2$. Esto es equivalente a encontrar un generador del grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_p^*$, es decir, una raíz primitiva. No hay ninguna fórmula general para un generador, por lo que no voy a decir mucho acerca de que (esta puede ser una causa de sus dificultades). Simplemente sabemos que existe! Pero si $p$ es fijo, decir $p=5$ o cualquier otro pequeño primo, entonces te recomiendo de esta manera, usted puede calcular fácilmente con permutaciones.

PVAL está fuertemente haciendo alusión a la posibilidad de que usted puede conseguir un semi-producto directo de la $G_1$$G_2$. De hecho, verás que uno de los dos subgrupos es estable bajo la conjugación de los elementos de la otra. De qué manera funciona? Estoy un medio loco y no lo dirá usted! Pero recuerde que el campo fijo de un subgrupo normal es de por sí Galois sobre el campo base. Así que de los campos $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ o $\mathbb{Q}(\root p\of2)$ es de Galois sobre los racionales? El grupo de automorfismos asociada a ese campo debe ser un subgrupo normal de la gran grupo de Galois. Después de calcular que hacia fuera, usted puede empezar a estudiar el efecto de cualquiera de las $\sigma_a\tau\sigma_a^{-1}$ o $\tau\sigma_a\tau^{-1}$ todo de acuerdo a lo que se siente más interesante...

Answer 2

Sugerencia: $\big<\sigma \big> \big< \tau \big>=G$ (cuenta el orden de cada uno), y $\big<\sigma \big> \cap \big< \tau \big>=e$. Si uno de estos es normal, entonces es fácil escribir como un semi-producto directo de grupos.