La pregunta es para Determinar el grupo de Galois de $x^p-2$ por un extraño primer p.
Para encontrar el grupo de Galois, buscamos la división de campo de la $x^p-2$ que puede ser visto como $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ donde $\zeta$ es una primitiva $p^{th}$ raíz de la unidad.
Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\zeta) \subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$.sabemos que $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}(\zeta)$, nos encontramos con el Correspondiente Grupo de Galois decir $G_1$.
Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$. sabemos que $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ es de galois sobre $ \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})$, nos encontramos con el Correspondiente Grupo de Galois decir $G_2$.
A continuación, Grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ posiblemente sería Producto de estos dos subgrupos $G_1$ $G_2$ con alguna relación entre los generadores.
Para $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\zeta))$, considere la posibilidad de $\tau: \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ fijación $\zeta$ y el envío de $\sqrt[p]{2} \rightarrow \sqrt[p]{2}\zeta$.
$\tau(\sqrt[p]{2})=\sqrt[p]{2}\zeta$,
$\tau^2(\sqrt[p]{2})=\tau(\tau(\sqrt[p]{2}))=\tau(\sqrt[p]{2}\zeta)=\tau(\sqrt[p]{2})\tau(\zeta)=\sqrt[p]{2}\zeta^2$,
Por Razones similares, $\tau^{p}(\sqrt[p]{2})=\sqrt[p]{2}\zeta^p=\sqrt[p]{2}$.
Ningún poder de la $\tau$ menos de $p$ le da identidad como ningún poder de la $\zeta$ menos de $p$ le da identidad.
Por eso, $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\zeta)) \cong \mathbb{Z}_p \cong \big< \tau \big>$.
Para $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}))$, considere la posibilidad de $\sigma : \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)$ fijación $\sqrt[p]{2}$ y el envío de $\zeta \rightarrow \zeta^2$
$\sigma(\zeta)=\zeta^2$
$\sigma^2(\zeta)=\sigma(\sigma(\zeta))=\sigma(\zeta^2)=\zeta^{(2^2)}$
Por razones similares, $\sigma^{p-1}(\zeta)=\zeta^{(2^{p-1})}$ por cada $a\in \mathbb{F}_p$, $a^{p-1}=1$ tenemos, en particular,$2^{p-1} \equiv~1~mod~p$.
Por eso, $\sigma^{p-1}(\zeta)=\zeta^{(2^{p-1})}=\zeta$ ($\zeta$$p^{th}$ raíz de la unidad).
Ningún poder de la $\sigma$ menos de $p-1$ le da identidad como $2\in \mathbb{F}_p$ genera Multiplicativo grupo, ningún poder de la $2$ menos de $p-1$ puede ser igual a $1~mod~p$.
Por eso, $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta)/\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2})) \cong \mathbb{Z}_{p-1} \cong \big< \sigma\big>$.
Como $[\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2},\zeta):\mathbb{Q}]=p(p-1)$ $|\sigma|=p-1$ $|\tau|=p$ siento que el grupo de Galois se debe posiblemente generados por $\sigma$ $\tau$ con "algo más de las condiciones relacionadas con el"Pero no es muy seguro para confirmar esto.
Yo no soy capaz de ir más lejos, puedo ver que $\sigma$ $\tau$ no conmuta con cada uno de los otros. Yo soy incapaz de producir un saber de grupo que contienen isomorfo copias de $\mathbb{Z}_{p-1}$ $\mathbb{Z}_p$ como subgrupos.
Yo estaría muy agradecido si alguien me puede ayudar en este caso.
Gracias.