El vector $(11,-16)$ se escribe en la base estándar - significa $11\times(1,0)+(-16)\times(0,1)$ . Este es exactamente el cálculo que se hace cuando se escribe:
$$2u_1+3u_2=2(1,-2)+3(3,-4)=(11,-16)$$
Si escribimos $e_1=(1,0)$ y $e_2=(0,1)$ Entonces lo que estás escribiendo es:
$$2u_1+3u_2=2(e_1-2e_2)+3(3e_1-4e_2)=11e_1-16e_2$$
por lo que ha cambiado las coordenadas de $u_1$ y $u_2$ a $e_1$ y $e_2$ .
No es estrictamente correcto decir que un vector $(a,b)$ "pertenece a" una base, pero es necesario saber en qué base se trabaja para poder interpretarla.
Más información sobre vectores y coordenadas
Normalmente tomamos $\mathbb{R}^2:=\{(a,b):a,b\in\mathbb{R}\}$ para ser el conjunto de pares de números reales, con estructura de espacio vectorial dada por:
$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$ $$\lambda(a,b)=(\lambda a,\lambda b)$$
Así que sus puntos (vectores) son pares $(a,b)$ . También tenemos que $(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$ por lo que los vectores $e_1=(1,0)$ y $e_1=(0,1)$ span (no estoy afirmando que sean una base todavía, pero por supuesto que lo son), pero todavía puedo entender $(a,b)$ sin saber de $e_1$ y $e_2$ .
Ahora elige una base $v_1,v_2$ de $\mathbb{R}^2$ (no necesariamente el estándar). Entonces, para cualquier $u\in\mathbb{R}^2$ tenemos $u=xv_1+xv_2$ Así que podríamos escribir $u=(x,y)$ en las coordenadas $v_1$ y $v_2$ . Sin embargo, debido a que $u$ es un punto de $\mathbb{R}^2$ es un par $(a,b)$ de los números reales. Pero a menos que $v_1=e_1$ y $v_2=e_2$ no tendremos $a=x$ y $b=y$ . Esto es confuso (ahora podemos decir sinceramente $u=(a,b)$ y $u=(x,y)$ , pero la pareja $(a,b)$ no es igual al par $(x,y)$ ), así que en su lugar escribiré $u=[x,y]_v$ para significar que $u$ tiene coordenadas $x$ y $y$ en la base $v_1$ y $v_2$ . Ahora podemos decir $(a,b)=[x,y]_v$ sin confundirse, y nuestra notación separa un vector en $\mathbb{R}^2$ que es sólo un par de números $(a,b)$ que no depende de ninguna base, de una representación de coordenadas $[x,y]_v$ que requiere la base $v$ para ser entendido. (Tenga en cuenta que tenemos $(a,b)=[a,b]_e$ ).
Ahora, volviendo a su ejemplo, $u_1$ es realmente el vector $(1,-2)$ et $u_2$ es realmente el vector $(3,-4)$ - No necesito ninguna base para entender esto. En nuestra nueva notación de coordenadas, su cálculo es ahora:
$$[2,3]_u=2u_1+3u_2=2(1,-2)+3(3,-4)=(11,-16)$$
donde $(11,-16)$ se interpreta como un simple vector en $\mathbb{R}^2$ sin base elegida (aunque podríamos pensar en ello como $(11,-16)=[11,-16]_e$ si quisiéramos). Ahora para escribirlo en términos de la base $v_1$ y $v_2$ necesitas encontrar $x,y$ tal que $[x,y]_v=(11,-16)$ o más bien así:
$(11,-16)=[x,y]_v=xv_1+yv_2=x(1,3)+y(3,8)=(x+3y,3x+8y)$
