Base de una base

Question

Tengo problemas para entender el concepto de coordenadas en Álgebra Lineal.

Permítanme dar un ejemplo:

Considere la siguiente base de $\mathbb R^2$ :

$S_1=\{u_1=(1,-2),u_2=(3,-4)\}$ y $S_2=\{v_1=(1,3),v_2=(3,8)\}$

Dejemos que $w=(2,3)$ sea un vector con coordenadas en $S_1$ entonces $w=2u_1+3u_2=2(1,-2)+3(3,-4)=(11,-16)$ .

Cuando intenté encontrar las coordenadas de $w$ en $S_2$ , he encontrado el siguiente problema:

¿Qué base? $(11,-16)$ ¿pertenece a? Supongo que lo mismo de $u_1$ y $u_2$ pero qué base $u_1$ y $u_2$ pertenece? y si descubro la base de $u_1$ y $u_2$ , lo que es la base de la base de $u_1$ y $u_2$ ?

Encontré un problema de recurrencia infinita y me quedé atascado allí.

Tal vez estoy viendo las cosas más complicadas de lo que es, pero parece que hay una cuestión más profunda y filosófica dentro de esta duda, no pude ver lo que es realmente una coordenada.

Estaría muy agradecido si alguien me ayuda con esta duda.

Answer 1

El vector $(11,-16)$ se escribe en la base estándar - significa $11\times(1,0)+(-16)\times(0,1)$ . Este es exactamente el cálculo que se hace cuando se escribe:

$$2u_1+3u_2=2(1,-2)+3(3,-4)=(11,-16)$$

Si escribimos $e_1=(1,0)$ y $e_2=(0,1)$ Entonces lo que estás escribiendo es:

$$2u_1+3u_2=2(e_1-2e_2)+3(3e_1-4e_2)=11e_1-16e_2$$

por lo que ha cambiado las coordenadas de $u_1$ y $u_2$ a $e_1$ y $e_2$ .

No es estrictamente correcto decir que un vector $(a,b)$ "pertenece a" una base, pero es necesario saber en qué base se trabaja para poder interpretarla.

Más información sobre vectores y coordenadas

Normalmente tomamos $\mathbb{R}^2:=\{(a,b):a,b\in\mathbb{R}\}$ para ser el conjunto de pares de números reales, con estructura de espacio vectorial dada por:

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$ $$\lambda(a,b)=(\lambda a,\lambda b)$$

Así que sus puntos (vectores) son pares $(a,b)$ . También tenemos que $(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$ por lo que los vectores $e_1=(1,0)$ y $e_1=(0,1)$ span (no estoy afirmando que sean una base todavía, pero por supuesto que lo son), pero todavía puedo entender $(a,b)$ sin saber de $e_1$ y $e_2$ .

Ahora elige una base $v_1,v_2$ de $\mathbb{R}^2$ (no necesariamente el estándar). Entonces, para cualquier $u\in\mathbb{R}^2$ tenemos $u=xv_1+xv_2$ Así que podríamos escribir $u=(x,y)$ en las coordenadas $v_1$ y $v_2$ . Sin embargo, debido a que $u$ es un punto de $\mathbb{R}^2$ es un par $(a,b)$ de los números reales. Pero a menos que $v_1=e_1$ y $v_2=e_2$ no tendremos $a=x$ y $b=y$ . Esto es confuso (ahora podemos decir sinceramente $u=(a,b)$ y $u=(x,y)$ , pero la pareja $(a,b)$ no es igual al par $(x,y)$ ), así que en su lugar escribiré $u=[x,y]_v$ para significar que $u$ tiene coordenadas $x$ y $y$ en la base $v_1$ y $v_2$ . Ahora podemos decir $(a,b)=[x,y]_v$ sin confundirse, y nuestra notación separa un vector en $\mathbb{R}^2$ que es sólo un par de números $(a,b)$ que no depende de ninguna base, de una representación de coordenadas $[x,y]_v$ que requiere la base $v$ para ser entendido. (Tenga en cuenta que tenemos $(a,b)=[a,b]_e$ ).

Ahora, volviendo a su ejemplo, $u_1$ es realmente el vector $(1,-2)$ et $u_2$ es realmente el vector $(3,-4)$ - No necesito ninguna base para entender esto. En nuestra nueva notación de coordenadas, su cálculo es ahora:

$$[2,3]_u=2u_1+3u_2=2(1,-2)+3(3,-4)=(11,-16)$$

donde $(11,-16)$ se interpreta como un simple vector en $\mathbb{R}^2$ sin base elegida (aunque podríamos pensar en ello como $(11,-16)=[11,-16]_e$ si quisiéramos). Ahora para escribirlo en términos de la base $v_1$ y $v_2$ necesitas encontrar $x,y$ tal que $[x,y]_v=(11,-16)$ o más bien así:

$(11,-16)=[x,y]_v=xv_1+yv_2=x(1,3)+y(3,8)=(x+3y,3x+8y)$

Answer 2

Cuando se empieza, a menudo es fácil confundir el coordenadas base y el elementos de $\Bbb R^2$ porque todos están escritos como pares ordenados con paréntesis.

Intentemos mantenerlas separadas utilizando $\langle a ,b\rangle$ para las coordenadas en $S_1$ , $[a,b]$ para las coordenadas en $S_2$ y sólo $(a,b)$ para los elementos de $\Bbb R^2$ . Esto debería ayudarle a visualizar "qué coordenadas pertenecen a qué base" y a mantenerlas separadas de los elementos de $\Bbb R^2$ .

Entonces $\langle2,3\rangle$ son las coordenadas del vector $2(1,-2)+3(3,-4)=(11,-16)$

Para encontrar las coordenadas $[a,b]$ para $(11,-16)$ tendrás que resolver la siguiente ecuación:

$$a(1,3)+b(3,8)=(11,-16)$$

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Comentario : lo que otros han dicho sobre la interpretación $(a,b)$ como coordenadas de "la base estándar" es correcto, pero no lo encuentro inmediatamente relevante. Creo que es pedagógicamente más útil enfatizar su identidad como elementos del espacio vectorial, en lugar de otro conjunto de coordenadas.

Tenemos que conseguir que reconozcas que las coordenadas de un punto en una base son los coeficientes que necesitas para fabricar ese vector usando la base :)

Answer 3

La base de todo, a menos que se especifique, es la base estándar $\{\textbf{e}_1=(1,0),\textbf{e}_2=(0,1)\}$