Problemas resueltos por intuición física

Question

Hace unos años me pidieron que resolviera un problema de integración:

Dejemos que $D = \left\{ (x,y,z) \,|\, x^2+y^2+\frac{z^2}{4} \le 1 \right\}$ . Encuentre $\int_D z^2 dV$ .

Por supuesto, el problema se propuso para el jacobiano. Pero una idea me vino a la mente. Si cortamos $D$ por planos perpendiculares a $z$ -eje, cada rebanada circular delgada tiene una densidad uniforme.

Tenga en cuenta que un trozo en $z$ tiene un radio $\sqrt{ 1 - \frac{z^2}{4} }$ y el grosor $dz$ . Por lo tanto, la rebanada tiene masa $$ z^2 \pi \left( 1 - \frac{z^2}{4} \right) dz $$ y, por tanto, la masa total es $$ \int_D z^2 dV = 2\int_0^2 z^2 \pi \left( 1 - \frac{z^2}{4} \right) dz = \frac{32}{15}\pi.$$

Pude responder por cálculo mental y el proponente se sorprendió. LOL

Es muy interesante resolver un problema matemático por intuición física.

¿Cuál es su problema favorito que puede resolverse fácilmente mediante la intuición física?

Answer 1

Algo relacionado con el ejemplo del OP, El principio de Cavalieri :

• Caso bidimensional: Supongamos que dos regiones de un plano están incluidas entre dos líneas paralelas de dicho plano. Si cada línea paralela a estas dos líneas interseca ambas regiones en segmentos de línea de igual longitud, entonces las dos regiones tienen áreas iguales.

• Caso tridimensional: Supongamos que entre dos planos paralelos se incluyen dos regiones en el espacio triple (sólidos). Si todos los planos paralelos a estos dos planos intersectan ambas regiones en secciones transversales de igual área, entonces las dos regiones tienen volúmenes iguales.