Si se dan los ángulos entre 3 líneas de intersección (es decir $A, B, C$ pasar por $O$ et $\angle AB \angle AC \angle BC$ están dadas) cómo puedes encontrar el ángulo entre una línea y el plano creado por las otras dos líneas
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amd
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2503
Dejemos que $\alpha=\angle{AB}$ , $\beta=\angle{AC}$ y $\gamma=\angle{BC}$ . El volumen del paralelepípedo con estos ángulos internos y longitudes de arista unitarias es $$V = \sqrt{1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}.$$ Por otro lado, si $\theta$ es el ángulo entre la línea $A$ y el plano definido por $B$ y $C$ También tenemos $$V=\sin\theta\sin\gamma$$ por lo tanto $$\sin\theta = \csc\gamma\sqrt{1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma}$$ y de forma similar para los otros ángulos de línea/plano.
user167895
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1
Utilizando la convención de que $A$ y $B$ están en el plano y $C$ es la línea:
Supondremos que $A$ está en la dirección $(1,0,0)$ .
dado $\angle AB$ podemos entonces encontrar una dirección para $B$ : $(\cos(\angle AB), \sin(\angle AB), 0)$ .
Ambos son vectores unitarios. Supondremos que $C$ es también un vector unitario; esta vez implicará las tres dimensiones. Podemos entonces utilizar el producto punto y algo de álgebra lineal para encontrar algunos valores para este vector:
$A\cdot C = |A||C|\cos(\angle AC) = \cos(\angle AC)$
$B\cdot C = \cos(\angle BC)$
$A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z = \cos(\angle AC)$
$B_xC_x + B_yC_y + B_zC_z = \cos(\angle BC)$
Pero $A_z$ y $B_z$ son ambos $0$ por lo que esos caen, por lo que tenemos:
$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1&0&\cos(\angle AC)\\ \cos(\angle AB)&\sin(\angle AB)&\cos(\angle BC)\\ \end{array} \right] $$
Que luego podemos resolver para $C_x$ y $C_y$ que podemos elevar al cuadrado y sumar para obtener el cuadrado del coseno de nuestro ángulo resultante.
