Pregunta sobre notación lógica (específicamente sobre equivalencias lógicas)

Question

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$$\text{Equivalence}$$

$p \land T \equiv p\tag{Identity law 1}$

$$p\lor F \equiv p\tag {Identity law 2}$$

$$p\lor T \equiv T\tag{Domination law 1}$$

$$p\land F \equiv F\tag{Domination law 2}$$

Así, en la imagen de arriba, donde están la T y la F, supongo que representan algo así como
T = "cualquier proposición verdadera"
F = "cualquier proposición falsa"

Y entonces la primera fila en inglés sería "Si P y cualquier proposición verdadera es verdadera entonces esto es lógicamente equivalente a P" ¿es eso correcto? Podría imaginar que es algo un poco diferente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Básicamente tienes razón, aunque yo cambiaría muy ligeramente la redacción:

Dejemos que $T$ sea una proposición verdadera. Sea $F$ sea una proposición falsa.

$p \land T \equiv p$ : Lo interpretamos como:

La proposición " $p$ es verdadera y $T$ es verdadera" es equivalente a la proposición " $p$ es cierto".

$p \lor F \equiv p$ : Lo interpretamos como:

La proposición " $p$ es verdadero o $F$ es falso" es equivalente a la proposición " $p$ es cierto".

$p \lor T \equiv p$ : Lo interpretamos como:

La proposición " $p$ es verdadero o $T$ es verdadera" es equivalente a la proposición " $T$ es cierto".

$p \land F \equiv p$ : Lo interpretamos como:

La proposición " $p$ es verdadera y $F$ es falso" es equivalente a la proposición " $F$ es falso".

Para ver por qué esto funciona, escriba las tablas de verdad de cada proposición y vea que las equivalencias se mantienen.

Answer 2

• Sí, $T$ = cualquier proposición que sea necesariamente (o siempre) verdadera (a tautología ).
• Y $F$ = cualquier proposición que sea necesariamente (o siempre) falsa (a contradicción ).
• El símbolo $\;$ " $\;\land\;$ " denota el AND lógico (conjunción).
• El símbolo $\;$ " $\,\lor\,$ "denota el OR lógico (disyunción).
• El símbolo " $\;\equiv\,$ " denota "es lógicamente equivalente a" o si lo prefiere, denota " si y sólo si ".

*Podría ser útil revisar las tablas de verdad de las conectivas lógicas $\land,\;\lor,\;\text{and}\;\equiv\;(\text{or}\;\iff)\;$ para entender por qué as siguientes afirmaciones deben ser ciertas:

$$p \land T \equiv p$$ $$p \lor F \equiv p$$ $$p \lor T \equiv T$$ $$p \land F \equiv F$$

Con respecto a su segunda pregunta.

Sí, para la primera identidad, tenemos que $\; p \land T\;$ es lógicamente equivalente a $\; p.\;$
Dicho de otro modo: $(p\,$ Y $\,T)\;$ si y sólo si $\;p$ .

Desde $T$ representa una tautología (verdadera sin importar qué), entonces el valor de verdad de $\;p \land T\;$ depende sólo sobre el valor de verdad de $\;p\;$ : Cuando $p$ es falso ambos lados de la equivalencia son falsos, y cuando $p$ es verdadera, ambos lados de la equivalencia son verdaderos.

Así que sí,

$p \land T \equiv p$ .

Esto también significa $(p \land T \iff p):\quad$ ( $p$ y $T$ ) si y sólo si $(p)$