Soluciones de algunas ecuaciones diofantinas

Question

Respetados matemáticos,

La ecuación diofantina

$$2^x + 5^y = z^2$$

tiene soluciones $$x = 3, y = 0, z = 3$$ y $$x = 2, y = 1, z = 3$$ Conseguí estas soluciones por el método de ensayo y error. Para ser honesto, estas soluciones están por debajo del número $5$ . Así que los verifiqué fácilmente por el método de prueba y error. Me gustaría saber el método que dará las soluciones de la ecuación anterior, así como las soluciones de las ecuaciones siguientes.

a)

$$4^x + 7^y = z^2$$

b)

$$4^x + 11^y = z^2$$

Esperando su solución y apoyo. baba

Answer 1

Haré una pieza para mostrarte algunos métodos que puedes probar en las otras piezas.

$2^x+5^y=z^2$ . Hagamos el caso en el que $y=2s$ está en paz.

$2^x=z^2-(5^s)^2=(z+5^s)(z-5^s)$ Así que $z+5^s=2^m$ y $z-5^s=2^n$ con $m+n=x$ . Eliminación de $z$ , $2\times5^s=2^m-2^n$ Así que $5^s=2^{m-1}-2^{n-1}$ . El lado izquierdo es impar, así que el lado derecho es impar, así que $n=1$ y $5^s=2^{m-1}-1$ . El lado izquierdo es 1 módulo 4, por lo que el lado derecho es 1 módulo 4, por lo que debemos tener $m=2$ . Así que si hay una solución con $y$ incluso, entonces $x=3$ , $y=0$ , $z=3$ .

Answer 2

Suponiendo que x, y, z son enteros no negativos, no hay soluciones a $4^x + 7^y = z^2$ y $4^x + 11^y = z^2$ . Esto se puede demostrar mediante la aritmética modular.

Tomando la ecuación a) mod 3 encontrarás lo siguiente:

• $4^x \equiv 1 \pmod{3}$
• $7^y \equiv 1 \pmod{3}$
• $z^2 \equiv 0$ o $1 \pmod{3}$

Desde $1 + 1 = 2$ y no hay plazas equivalentes a $2$ (mod 3), no hay soluciones para $4^x + 7^y = z^2$ .

Ahora tomando la ecuación b) mod 3:

• $4^x \equiv 1 \pmod{3}$
• $11^y \equiv (-1)^y \pmod{3}$
• $z^2 \equiv 0$ o $1 \pmod{3}$

Dado que, una vez más, no hay plazas equivalentes a $2$ (mod 3), $y$ debe ser impar. Sin embargo tomando la ecuación mod 4 obtendrás lo siguiente:

• $4^x \equiv 0 \pmod{4}$
• $11^y \equiv (-1)^y \pmod{4}$
• $z^2 = 0$ o $1 \pmod{4}$

$y$ no puede ser impar ya que esto implicaría que $11^y$ equivale a $-1 \equiv 3$ (mod 4) y no hay cuadrados equivalentes a 3 mod 4. Esto es una contradicción y por lo tanto tampoco hay soluciones a la ecuación b).

EDIT: En realidad me acabo de dar cuenta de que he descuidado el caso en el que $x = 0$ y por lo tanto $4^0 \equiv 1 \pmod{4}$ . Pero tomando la ecuación resultante $1 + 11^y = z^2$ mod 5 demuestra que no hay solución de todos modos, ya que los residuos cuadráticos para el módulo 5 son 0, 1 y 4.