Referencia para $ \mathrm {Var}[s^2]= \sigma ^4 \left ( \frac {2}{n-1} + \frac { \kappa }{n} \right )$ ?

Question

En su responder a a mi pregunta anterior, @Erik P. da la expresión $$ \mathrm {Var}[s^2]= \sigma ^4 \left ( \frac {2}{n-1} + \frac { \kappa }{n} \right ) \>, $$ donde $ \kappa $ es el _exceso de curtosis_ de la distribución. Una referencia a la entrada de Wikipedia en la distribución de la varianza de la muestra pero la página de Wikipedia dice "se necesita cita".

Mi pregunta principal es, ¿hay una referencia para esta fórmula? ¿Es "trivial" derivar, y si es así, se puede encontrar en un libro de texto? (@Erik P. no pudo encontrarla en Estadísticas matemáticas y análisis de datos ni yo en Inferencia estadística de Casella y Berger . A pesar de que el tema está cubierto.

Sería bueno tener una referencia de libro de texto, pero aún más útil tener una (la) referencia primaria.

(Una pregunta relacionada es: ¿Cuál es la distribución de la varianza de una muestra de una distribución desconocida? )

Actualización : @cardenal señaló otra ecuación en matemáticas.SE : $$ \mathrm {Var}(S^2)={ \mu_4\over n}-{ \sigma ^4\,(n-3) \over n\,(n-1)} $$ donde $ \mu_4 $ es el cuarto momento central.

¿Hay alguna forma de reordenar las ecuaciones y resolver las dos, o la ecuación del título está equivocada?

Answer 1

Fuente: Introducción a la Teoría de la Estadística Mood, Graybill, Boes, 3ª edición, 1974, p. 229.

Derivación: Note que en el enlace de Wikipedia de la OP, $ \kappa $ no es la curtosis sino la exceso curtosis, que es la curtosis "regular" - 3. Para volver a la curtosis "regular" tenemos que añadir 3 en el lugar apropiado de la fórmula de Wikipedia.

Lo tenemos, de la MGB:

$ \text {Var}[S^2] = {1 \over {n}}( \mu_4 - {{n-3} \over {n-1}} \sigma ^4)$

que, usando la identidad $ \mu_4 = ( \kappa + 3) \sigma ^4$ puede ser arreglado para (derivación mía, por lo que cualquier error también lo es):

$ = {1 \over {n}}( \kappa \sigma ^4 + {{n-1} \over {n-1}}3 \sigma ^4 -{{n-3} \over {n-1}} \sigma ^4) = \sigma ^4 \left ({ \kappa \over {n}}+{3(n-1)-(n-3) \over {n(n-1)}} \right ) = \sigma ^4 \left ({ \kappa\over {n}} + {{2} \over {n-1}} \right ) $

Answer 2

No está claro si esto se ajustará a sus necesidades para una referencia definitiva, pero esta cuestión surge en los ejercicios de Casella y Berger:

(página 364, ejercicio 7.45 b):

Con referencia al ejercicio 5b que proporciona otra variante, en la que $ \Theta_2 $ y $ \Theta_4 $ son el segundo y el cuarto momento ( $ \sigma ^2$ y $ \kappa $ ), respectivamente:

Estos son equivalentes a la ecuación dada en un respuesta en matemáticas.SE :

$ \mbox {Var}(S^2)={ \mu_4\over n}-{ \sigma ^4\,(n-3) \over n\,(n-1)}$