Simetrías y grupos de Lie en física

Question

Esto no es una tarea, ni tampoco un ejercicio. Es lo que yo entiendo por $U(1)$ simetría. Solicito si alguien puede corregirme en alguno de los siguientes entendimientos:

1. El fondo de la física de partículas es la densidad lagrangiana, que es una generalización de la mecánica clásica, $L= V-T$ .

2. Nos encontramos con muchas simetrías en la naturaleza que son invariantes bajo cualquier cambio realizado. Por ejemplo, un triángulo equilátero es más simétrico que otros triángulos: ...... En el caso de una simetría, si el objeto se gira o se voltea, la apariencia permanecerá inalterada.

3. Pero cuando etiquetamos una simetría, podríamos diferenciarla, lo cual es algo que se llama "ruptura de la simetría".

4. $U(1)$ es un grupo de Lie. Ahora, típicamente si un círculo es rotado, volteado, aparece lo mismo, llamado grupo de Lie.

5. Hay diferentes tipos de simetrías como (i) Traslación --> Invarianza de las leyes de la física bajo cualquier traslación como se señala en el teorema de Noether (ii) Rotación --> Cualquiera que sea la dirección en la que se gire es la misma (iii) Simetría temporal --> las leyes de la física son eternamente inmutables (iv) Simetría de impulso

6. La simetría rotacional y de impulso se agrupan bajo el grupo de Lorentz. La simetría traslacional, rotacional y de refuerzo conforman el grupo de Poincare.

7. La simetría local no es una simetría en el espacio tiempo físico.

8. Cuando Einstein aplicó la relatividad especial al electromagnetismo, encontró el potencial electromagnético 4 - el cuatro vector (1 como el tiempo y 3 como el espacio, que relaciona el potencial escalar eléctrico y el potencial vectorial magnético). Los físicos se alegraron, ya que el potencial electromagnético 4 aparece en la densidad lagrangiana.

9. Pero el valor del potencial electromagnético 4 puede modificarse. El campo eléctrico $E(t,x)$ y el campo magnético, $B(t,x)$ El término invariancia gauge se refiere a la propiedad de que toda una clase de potenciales escalares y vectoriales, relacionados por las llamadas transformaciones gauge, describen los mismos campos eléctricos y magnéticos. Como consecuencia, la dinámica de los campos electromagnéticos y la dinámica de un sistema cargado en un fondo electromagnético no dependen de la elección del representante $(A_0(t,x),A(t,x))$ .

10. $U(1)$ siendo un círculo. Cuando la partícula cargada se mueve a través del $U(1)$ plano, su masa, la energía cinética no depende de la posición de la partícula. Su valor depende de la velocidad con la que rodea el plano.

11. Esta es la $U(1)$ simetría del modelo estándar. Si giramos $U(1)$ en cualquier ángulo, la densidad lagrangiana no cambiará.

Por favor, corríjanme si me equivoco.

Gracias.

Answer 1

Tienes algunos errores:

(3) Encuentro las palabras etiquetar y diferenciar impar. Una simetría puede romperse, ya sea de forma espontánea, por ejemplo, el mecanismo de Higgs, o de forma explícita.

(4) es una mala definición de un grupo de Lie... como se menciona en los comentarios, un grupo de Lie es un grupo que también es una variedad diferenciable.

(7) una simetría local es una simetría continua para la que el parámetro continuo que parametriza la simetría es una función del espacio y del tiempo. cf. una simetría global, en la que el parámetro continuo es constante. Para una teoría con términos cinéticos (por ejemplo, el Modelo Estándar), las simetrías locales son posibles sólo si las simetrías locales son simetrías gauge.

(10) Según los comentarios, el $U(1)$ es una simetría interna - una partícula no se mueve alrededor del $U(1)$ línea (parametrizada por un solo parámetro continuo) en el sentido ordinario.

Por favor, que alguien se sienta libre de editar esta respuesta para incluir más correcciones o ampliar la mía.