Integral con núcleo de distribución delta en la singularidad

Question

Dejemos que $\delta(x)$ sea la distribución delta de Dirac y supongamos $f$ es una función con una singularidad en $x = a$ es decir, existe una función $g$ que es no singular en todas partes tal que $$ f(x) = \frac{g(x)}{x-a}. $$ ¿Cuál es el valor de $$ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)dx, $$ si la integral existe?

Answer 1

De una definición de la distribución Delta de Dirac (la "propiedad de tamizado"):

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)dx = f(a)$

que es singular por su definición en este caso, por lo que la integral es singular y en ese sentido no existe.

Answer 2

NOTACIÓN . El símbolo $1_{x\in A}$ denota la función de $x$ que es igual a $1$ si $x\in A$ y $0$ de lo contrario.

Voy a poner un ejemplo concreto para demostrar que la pregunta está mal planteada. Poner $a=0$ y considerar $f(x)=\tfrac1x 1_{|x|\le 100}$ . Consideremos ahora el conjunto $A:=[-1, -\tfrac12]\cup[\tfrac12, 1]$ y definir una secuencia de funciones $$\delta_1(x):=1_{x\in A},\quad \delta_n(x):=n\delta_1(nx).$$ Observe que $\delta_n\to \delta$ en sentido distributivo. Si la integral del lado izquierdo de la siguiente estuviera bien definida, deberíamos tener $$ \int_{\mathbb R} f(x)\delta_n(x)\, dx =\lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb R} f(x)\delta_n(x)\, dx = \lim_{n\to\infty} \int_{\frac1{2n}\le |x|\le\frac1n} \frac{1}{x}\, dx=0,$$
porque las funciones integradas en el lado derecho son Impares y acotadas.

Ahora vuelva a realizar el mismo procedimiento con el conjunto $B=[\tfrac12, \tfrac32]$ es decir, definir $$\tilde\delta_1(x):=1_{x\in B},\quad \tilde\delta_n(x):=n\tilde\delta_1(nx).$$ Esta secuencia converge a $\delta$ también, sin embargo, ahora tenemos $$ \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb R} f(x)\tilde\delta_n(x)\, dx = \infty.$$

CONCLUSIÓN . La cuestión está mal planteada sin remedio.