¿Cuándo es integrable esta función?

Question

Necesito encontrar los valores de $\alpha$ y $\beta$ tal que $$|x|^{\alpha}|\log |x||^{\beta}$$ es integrable sobre $\{x\in \mathbb{R} : |x|<\frac{1}{2}\}$ y más $\{x\in\mathbb{R} : |x|>2\}$

Sólo pude ver los casos fáciles, es decir, para la primera región si sólo tomamos $\beta=0$ entonces para cualquier $\alpha$ la función sería integrable. Por favor, guíenme en cómo puedo cubrir todos los casos posibles y cuáles son los casos válidos.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, suponemos que $x\in[0,1/2]$ . Ejecución de la sustitución $x\to e^{-x}$ revela,

$$\int_0^{1/2}x^\alpha |\log(x)|^{\beta}\,dx=\int_{\log(2)}^\infty e^{-(1+\alpha) x}x^\beta\,dx \tag 1$$

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Ahora, para cualquier $\gamma >0$ , $x<\frac{1}{\gamma}e^{\gamma x}$ .

Por lo tanto, afirmamos que para cualquier $\gamma >0$ , $e^{-(1+\alpha)x}x^\beta<\frac1\gamma e^{(\gamma \beta -(1+\alpha))x}$ .

Si $\alpha >-1$ , entonces para cualquier $\beta$ podemos elegir $\gamma>0$ tal que $\gamma\beta-(1+\alpha)<0$ y la integral del lado derecho de $(1)$ converge por comparación.

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Si $\alpha =-1$ entonces $\int_0^{1/2}x^\alpha |\log(x)|^\beta \,dx$ converge para $\beta <-1$ y diverge en otras partes ya que

$$\int_\epsilon^{1/2}\frac{|\log(x)|^\beta}{x} \,dx=\frac{(-\log(\epsilon))^{\beta+1}-(\log(2))^{\beta+1}}{\beta +1}$$ .

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Si $\alpha <-1$ entonces $\int_0^{1/2}x^\alpha |\log(x)|^\beta\,dx=\int_{\log(2)}^\infty e^{|1+\alpha|x}x^\beta\,dx$ diverge para todos los $\beta$ debido al crecimiento exponencial del integrando.

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NOTA: Para $x>2$ repetir el análisis sustituyendo $x\to 1/x$ .