¿Si $3^x$ y $5^x$ son ambos números enteros, es $x$ también un número entero?

Question

¿Se cumple la siguiente afirmación? $$x\in \mathbb{R}^+ \text{y} \ 3^x, 5^x \in \mathbb{Z} \implies x \in \mathbb{Z}$$

En palabras:

Si $x>0$ es un número real, y $3^x$ y $5^x$ son ambos enteros, ¿significa eso que $x$ es un entero?

Esta es una forma ligeramente modificada de otro problema en el que estaba trabajando. Un amigo mío afirma que este es un problema muy difícil. ¿Qué opinas?

Si alguien dice que es un problema abierto, ¿se puede mostrar que este problema es equivalente a algún otro problema abierto conocido?

Answer 1

Esta es probablemente una pregunta abierta, ya que el problema relacionado con $2^x$ y $3^x$ está abierto. Hoy en día, se sabe que si $2^x$, $3^x$ y $5^x$ son enteros, entonces $x$ también es entero--se sigue del teorema de los seis exponenciales en la teoría de números trascendentes.

No puedo confirmar si el caso $3^x$, $5^x$ sigue del conjetura de los cuatro exponenciales, ya que no conozco el campo; así que estaría agradecido si alguien pudiera.

Answer 2

Diría que sí. Si asumimos que $x \notin \mathbb{Z}$ podemos escribirlo como $n+\alpha$ donde $n \in \mathbb{Z}$ y $\alpha \in (0,1)$, entonces $$3^x=3^{n+\alpha}=3^n\cdot 3^{\alpha}$$

Sabemos que $3^n$ es un entero y si $3^x$ también lo es, entonces $3^\alpha$ también debe serlo.

Ahora, como $\alpha \in (0,1)$ podemos escribirlo como $\frac{1}{\beta}$ donde $\beta > 0$, entonces tenemos que

$$3^{\alpha}=\sqrt[\beta]{3}$$

lo cual definitivamente no es un entero, lo cual es una contradicción, por lo que $x$ debe ser un entero.

Tal vez estoy perdiendo algo en la pregunta original, pero no veo cómo el $5^x$ cambia algo.