Atenuación de una señal

Question

Supongamos que tengo un cable entre dos terminales y quiero enviar una frecuencia alta ( $f$ ) de uno a otro.

¿Son suficientes la inductancia y la capacitancia por unidad de distancia para calcular la atenuación de la señal en función de la longitud del cable?

Si es así, ¿cómo puedo deducirlo?

Answer 1

Un cable coaxial perfecto (representado como una capacitancia $\Gamma$ por unidad de distancia y una inductancia por unidad de distancia $\Lambda$ ) no disiparía ninguna señal. Se puede describir mediante la ecuación de D'Alembert:

$$\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \Gamma \Lambda \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}.$$

Si se añade una resistencia por unidad de longitud $\rho$ la ecuación anterior se modifica como sigue:

$$\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \Gamma \Lambda \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} + \Gamma \rho \frac{\partial V}{\partial t}= \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} + \frac{\kappa}{c} \frac{\partial V}{\partial t},$$

donde $\kappa = \rho \sqrt{\frac{\Gamma}{\Lambda}}$ es una longitud de atenuación inversa. En efecto, considerando un vector de onda complejo $k$ como $V(x,t) = V_0 \exp(i(\omega t - kx))$ encontramos la siguiente ecuación característica en $k$ :

$$k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - i \frac{\omega}{c} \kappa $$

que se puede resolver fácilmente para $\kappa \ll \omega/c$ eliminando $\kappa^2/4$ y notando que $(\omega/c - i \kappa/2)^2 = \omega^2/c^2 - i \omega/c \kappa - \kappa^2/4 \approx k^2$ . Así, $k \approx \omega/c - i\kappa/2$ y, por último:

$$V(x,t) = V_0 \exp(i(\omega(t-x/c))) \exp(-\kappa x/2)$$

El coeficiente de atenuación de la potencia puede expresarse como $G_{\mathrm{dB}}(L) = 10 \log_{10} \left(\left| \frac{V(L)}{V(0)} \right|^2 \right) = - 10 \frac{\kappa L}{\ln(10)}$ .

Answer 2

Supongamos que tengo un cable entre dos terminales y quiero enviar una señal de alta frecuencia (f) de uno a otro.

Sólo un comentario: en cualquier tipo de problema de integridad de la señal, hay que considerar que la vía de retorno de la señal es casi tan importante como la geometría del cable que nominalmente lleva la señal.

Así que no pienses sólo en "un cable entre dos terminales". Piensa también en dónde fluye la corriente de retorno o de referencia para las corrientes de señal en el cable. ¿Está en otro hilo de un cable plano? ¿O en un plano de tierra debajo del cable? ¿O en planos de tierra por encima y por debajo del cable? ¿Hay alguna irregularidad o interrupción en la conexión de retorno?

¿Son suficientes la inductancia y la capacitancia por unidad de distancia para calcular la atenuación de la señal en función de la longitud del cable?

Hay tres fuentes principales de atenuación

• Pérdidas resistivas en el cable (y en la vía de retorno). Para calcular este efecto es necesario conocer la resistencia del cable (por unidad de longitud). El valor también puede aumentar a altas frecuencias debido a la efecto piel .

• Pérdida conductiva en el dieléctrico. Esto es importante cuando la corriente puede fluir desde el cable hasta el conductor de retorno. También se mide por unidad de longitud de la línea. Esto es probablemente insignificante si se trata de un cable suspendido en el aire sobre un plano de tierra. Pero si se intenta transmitir una señal de alta frecuencia en una placa de circuito fabricada con un dieléctrico no diseñado para altas frecuencias, puede convertirse en un problema.

• La radiación. Si tu cable está demasiado separado de la vía de retorno y tratas de transmitir una frecuencia de señal demasiado alta, el cable puede convertirse en una antena e irradiar la energía de la señal al espacio. El análisis de este efecto suele requerir la consideración de la geometría completa del cable y del conductor de retorno, y normalmente se utiliza un método numérico en lugar de uno analítico.

Por lo tanto, ninguno de estos efectos se describe realmente mediante la inductancia y la capacitancia por unidad de longitud del cable, aunque los efectos resistivos y conductivos pueden describirse ampliando el modelo del elemento de la línea de transmisión para incluir una resistencia (R) en serie con el elemento inductivo, y un conductor (G) en paralelo con el elemento capacitivo: