Un pequeño detalle en los Modelos Neron (Bosch-Lütkebohmert-Raynaud) sobre la teoría del descenso

Question

Mi pregunta se refiere a un pequeño detalle en la página 132 del libro mencionado.

Dejemos que $R'$ sea una superficie fielmente plana $R$ álgebra y $M'$ a $R'$ -módulo. Sea $\varphi: p_1^* M' \cong p_2^* M'$ sea un dato de cobertura, donde $p_1$ y $p_2$ son proyecciones sobre el primer y segundo factor de $R'' = R'\otimes_{R} R'$ a $R'$ (o más bien, la proyección de los espectros asociados). Utilizando $\varphi$ el libro deriva dos morfismos $$M' \rightrightarrows M'\otimes_R R' $$ y decir que esto es co-cartesiano sobre $$ R' \rightrightarrows R'\otimes_R R'.$$ También se dice allí que ser cocartesiano sobre la segunda secuencia equivale a dar un dato de cobertura.

A continuación, hablan del dato de descenso (dato de cobertura más alguna condición de co-ciclo), relacionando el dato de descenso con algún diagrama con flechas triples siendo co-cartesiano sobre una secuencia similar en los anillos (involucrando $R'\otimes_R R' \otimes_R R'$ ). A continuación, hacen una observación similar a la anterior: dato de descenso = co-cartesiano + algunas condiciones de conmutatividad, como por ejemplo $p_1\circ p_{12} = p_1 \circ p_{13}$ .

No entiendo muy bien a qué se refieren con ser cocartesiano. Y por lo tanto, tampoco veo cómo se relaciona con dar un dato de descenso o descendente. Sería de gran ayuda si alguien puede aclararlo.

Gracias.

EDIT: Me he puesto a leer la sección correspondiente del proyecto Stacks. Utilizan el formalismo de objeto cosimplicial, que hace todo mucho más claro.

Answer 1

Dejemos que $R,S$ ser anillos, $M$ a $R$ -módulo y $N$ a $S$ -módulo. Sea $R \to S$ sea un homomorfismo de anillo. Entonces a $R$ -homomorfismo de módulo $M \to N|_R$ se dice que es cocartesiano sobre $R \to S$ cuando el correspondiente $S$ -homomorfismo de módulo $M \otimes_R S \cong N$ es un isomorfismo. Si $M$ y $N$ son álgebras, se recupera la noción habitual de cuadrado cocartesiano (también llamado pushout) en la categoría de anillos. Puedes imaginarlo como sigue: Se saca la gavilla cuasi-coherente $\tilde{M}$ en $\mathrm{Spec}(R)$ a lo largo de $\mathrm{Spec}(S) \to \mathrm{Spec}(R)$ volver a $\mathrm{Spec}(S)$ y llegar a $\tilde{N}$ .

Cuando hay dos mapas $R \rightrightarrows S$ y $M \rightrightarrows N$ , entonces cocartesiano significa cocartesiano para los dos casos separados.

Me resultó bastante difícil entender la teoría del descenso en este "lenguaje afín". En lugar de BLR, recomiendo la exposición de Angelo Vistoli sobre la teoría del descenso, o el FGA original de Grothendieck.