¿Cuál es la velocidad terminal de un objeto que cae sometido a una resistencia proporcional a su velocidad si recorre una cierta distancia en un tiempo determinado?

Question

Este es el problema 7.52 del primer volumen de Alonso y Finn Física Fundamental Universitaria .

El dato dado es que un cuerpo cae 108 metros en cinco segundos. Hay que encontrar la velocidad terminal si se deja caer desde el reposo y siente una fuerza de arrastre proporcional a su velocidad.

El trabajo hasta ahora:

Encontrar una solución analítica para esto es sencillo. La ecuación del movimiento es $$ma = mg - bv$$ donde $b$ es la constante de proporcionalidad.

La aceleración es $$a = g - \frac{b v}{m}$$ y podemos escribir $$\begin{align}dv &= \left(g - \frac{b v}{m}\right) dt. \\ dv &= -\frac{b}{m} \left(v - \frac{m g}{b}\right) dt. \end{align}$$

Podemos integrar para obtener una expresión de la velocidad. $$\begin{align} \int_0^v \frac{dv'}{v' - \frac{m g}{b}} &= \int_0^t - \frac{b}{m} dt'. \\ \ln \left(\frac{m g - b v}{m g}\right) &= - \frac{b}{m} t. \\ m g - b v &= m g e^{- \frac{b}{m} t}. \\ v &= \frac{m g}{b} \left(1 - e^{- \frac{b}{m} t}\right). \end{align}$$

Analíticamente, es evidente que la velocidad terminal es $v_\mathrm{T} = \frac{m g}{b}$ . Supongo que como se da información sobre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, se pretende encontrar una respuesta numérica. Lo anterior se puede integrar de nuevo para encontrar la posición. Suponiendo que he hecho bien esa parte, tenemos

$$\begin{align} x &= \frac{m g}{b} t - \frac{m}{b} \frac{mg}{b} \left(1 - e^{-\frac{b}{m} t} \right). \end{align}$$

Obviamente, la expresión para $v$ aparece en esta expresión y es así como creo que debería poder proceder para resolver de alguna manera para $\frac{m}{b}$ o algo así, pero no veo a dónde ir desde aquí. No puedo llegar a ninguna otra suposición ya que no sé nada sobre el cuerpo en sí o cómo $b$ depende de sus propiedades. Agradezco enormemente cualquier ayuda sobre lo que estoy pasando por alto. He estado trabajando con este texto desde el principio, y me he dado cuenta de que tiene algunos problemas bastante serios con los errores en las soluciones de los números Impares en la parte posterior (como los mismos errores que reaparecen con frecuencia, por ejemplo con respecto a la geometría del tetraedro con preguntas en ambos capítulos 3 y 4) y algunas preguntas que parecen poco claras sobre lo que realmente están pidiendo. Así que es posible que esté mal construido, por mucho que suene atrevido decirlo.

Answer 1

¡Interesante problema! Aquí muestro que no hay que resolver para $b$ y $m$ sino por su relación $k = b/m$ que es único para el conjunto de datos dado.

Déjame reescribir tus ecuaciones

$$ \begin{aligned} x(t) &= \frac{1}{k} g t - \frac{1}{k^2} g \bigl( 1 - e^{-kt} \bigr) \\ v(t) &= \frac{1}{k} g \bigl( 1 - e^{-kt} \bigr) \end{aligned} $$

Has identificado correctamente que la velocidad aparece en el desplazamiento

$$x(t) = \frac{1}{k} \bigl( g t - v(t) \bigr)$$

y la velocidad terminal es

$$\boxed{v_f = g t_f - k x_f}$$

donde $x_f = x(t_f)$ y $v_f = v(t_f)$ . El único problema aquí es que el valor de $k$ es desconocido. No estoy seguro de que esto sea posible de resolver analíticamente, pero es posible demostrar que sólo hay una solución para un determinado $x_f$ y $t_f$

$$\underbrace{(x_f/g) k^2 - t_f k + 1}_{f_1(k)} = \underbrace{e^{-t_f k}}_{f_2(k)}$$

En la ecuación anterior la única incógnita es $k$ que se determina a partir del intercepto entre la función cuadrática $f_1(k)$ y la función exponencial $f_2(k)$ . Hay dos soluciones para la ecuación anterior: (i) la solución trivial es $k = 0$ y (ii) la otra solución es la que hay que calcular $v_f$ . La conclusión es que sólo hay una solución no trivial $k^\star$ a la ecuación anterior, lo que significa que la solución de la velocidad final $v_f$ es único para un determinado $x_f$ y $t_f$ .

La figura siguiente muestra cómo determinar el parámetro desconocido $k$ mediante un simple procedimiento numérico, que también podría hacer a mano en pocas (o docenas) de iteraciones. A partir de esto obtenemos $k^\star = 0.0781$ y la velocidad terminal es $v_f = 40.57 \text{ m/s}$ .

Figura: Determinar el parámetro desconocido $k$ por procedimiento numérico

Teniendo en cuenta que el libro que mencionas es de los años 60, me parece que la intención original del autor no era hacer simulaciones numéricas para resolver este problema. Que yo sepa no hay ningún método analítico para resolver raíces de ecuaciones "cuadráticas más exponenciales"

$$c y^2 + y + 1 - e^y = 0$$

donde $c = \frac{x_f}{g t_f^2}$ y $y = -t_f k$ .

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Si en realidad se trata de calcular la velocidad cuando la aceleración cae a cero

$$v_t = \lim_{t \to \infty} v(t) = \frac{g}{k}$$

la situación no es muy diferente

$$v_t = \frac{g x_f}{g t_f - v_f}$$

porque $v_f$ también se desconoce y no se puede resolver sin conocer $k$ . Obsérvese que al conocer sólo $m$ o sólo $b$ no ayudaría mucho porque su proporción es lo que importa. Sin embargo, no se necesitaría ningún procedimiento numérico si la velocidad $v_f$ se conocían además de $x_f$ y $t_f$ .

Answer 2

Como sabes que x=108m y t=5s puedes evaluar para b/m y luego encontrar v. Así que casi tienes la solución.