Cómo deshacerse de la integral en esta ecuación $\int\limits_{x_0}^{x}{\sqrt{1+\left(\dfrac{d}{dx}f(x)\right)^2}dx}$ ?

Question

Cómo deshacerse de la integral $\int\limits_{x_0}^{x}{\sqrt{1+\left(\dfrac{d}{dx}f(x)\right)^2}dx}$ cuando $f(x)=x^2$ ?

Answer 1

$$\int_{x_0}^x\!\!\!\sqrt{1+\left(\frac{d}{d\xi}f(\xi)\right)^2}\,d\xi\quad\text{with}\quad f(x)=x^2$$ $$ = \int_{x_0}^x\!\!\!\sqrt{1+4\xi^2}\,d\xi $$

Sustituyendo $2\xi=\sinh(u) \Rightarrow d\xi = \frac{1}{2}\cosh(u)\,du$ resultados en $$ \int\!\frac{1}{2}\cosh(u)\sqrt{1+\sinh^2(u)}\,du $$ $$ = \frac{1}{2}\int \cosh^2(u)\, du $$

Resolviendo esta integral con integración parcial se obtiene $$ \int_a^b \cosh^2(u)\,du = \left[ \cosh(u)\sinh(u) \right]_{u=a}^{b} - \int_a^b \sinh^2(u)\, du $$ $$ = \left[ \cosh(u)\sinh(u) \right]_{u=a}^{b} - \int_a^b \left(\cosh^2(u)-1 \right)\,du $$ $$ \Rightarrow \int_a^b \cosh^2(u)\,du = \frac{1}{2}\left(\left[ \cosh(u)\sinh(u) \right]_{u=a}^{b} + (b-a)\right) $$

Introduciendo esta solución y deshaciendo posteriormente la sustitución (para poder mantener los antiguos límites) se obtiene $$ \frac{1}{4} \left(\left[ 2\xi\sqrt{1+4\xi^2} \right]_{\xi=x_0}^{x} + (\sinh^{-1}(2x)-\sinh^{-1}(2x_0))\right) $$

Answer 2

Como en otras respuestas, dejemos $2x=\tan(\theta)$ $$ \begin{align} \int\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x &=\frac12\int\sec(\theta)\,\mathrm{d}\tan(\theta)\\ &=\frac12\int\sec^4(\theta)\,\mathrm{d}\sin(\theta)\\ &=\frac12\int\frac{\mathrm{d}\sin(\theta)}{(1-\sin^2(\theta))^2}\\ &=\frac18\int\left({\small\frac{1}{1-\sin(\theta)}+\frac{1}{(1-\sin(\theta))^2}+\frac{1}{1+\sin(\theta)}+\frac{1}{(1+\sin(\theta))^2}}\right)\mathrm{d}\sin(\theta)\\ &=\frac18\left(\log\left(\frac{1+\sin(\theta)}{1-\sin(\theta)}\right)+\frac{1}{1-\sin(\theta)}-\frac{1}{1+\sin(\theta)}\right)+C\\ &=\frac14\left(\log\left(\tan(\theta)+\sec(\theta)\right)+\tan(\theta)\sec(\theta)\right)+C\\ &=\frac14\log\left(2x+\sqrt{1+4x^2}\right)+\frac12x\sqrt{1+4x^2}+C\tag{1} \end{align} $$ A continuación, tome la diferencia de $(1)$ en los límites de la integración.

Answer 3

Resumiendo los comentarios, obtendrá $$ \int\limits_{x_0}^{x}{\sqrt{1+\left(\dfrac{d}{dt}f(t)\right)^2}dt} =\int\limits_{x_0}^{x}{\sqrt{1+\left(\dfrac{d}{dt}t^2\right)^2}dt} =\int\limits_{x_0}^{x}{\sqrt{1+4t^2}dt} $$ A resolver el último sustituto $t=\tan(u)/2$ y $dt=\sec^2(u)/2du$ . Entonces $\sqrt{1+4t^2}= \sqrt{\tan^2(u)+1}=\sec(u)$ , por lo que nos ponemos como antiderivados: $$ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\int \sec^3(u) du&=&\frac{1}{4}\tan(u)\sec(u)+\frac{1}{4}\int \sec(u)du+\text{const.}\\ &=&\frac{1}{4}\tan(u)\sec(u)+\frac{1}{4}\log(\tan(u)+\sec(u))+\text{const.} \\ &=& \frac{t}{2}\sqrt{1+4t^2}+\frac{1}{4}\log(2t+\sqrt{1+4t^2})+\text{const.}\\ &=& \frac{1}{4}\left(2t\sqrt{1+4t^2}+\sinh^{-1}(2t) \right)+\text{const.}. \end{eqnarray} $$ Pon tus límites y ya está: $$ \int\limits_{x_0}^{x}{\sqrt{1+4t^2}dx}=\left[\frac{1}{4}\left(2t\sqrt{1+4t^2}+\sinh^{-1}(2t) \right) \right]_{x_0}^x $$

Answer 4

¡Vuelve a lo básico! Para empezar, necesitas una derivada de la curva.

Si el integrando tiene raíz de suma de cuadrados en el denom Inmediatamente se dibuja un triángulo rectángulo con los lados adecuados y el resto es un paseo algebraico.