Expectativa condicional $\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$ donde $\mathcal{G}$ es $\sigma$ -de conjuntos contables y cocontables.

Question

Tenemos $\left((0,1), \mathcal{B}(0,1), \lambda|_{(0,1)} \right)$ y r.v. $X(\omega) = \cos (\pi \omega)$ y $\mathcal{G} = \{A \subset (0,1): \text{A is countable or $ A^C $ is countable}\}$ . ¿Qué es el $\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$ ?

Tenemos $\lambda(A) \in (0, 1)$ debido a las propiedades de $\lambda$ -medida. ¿Puedo asumir que $\mathbb{E}(X|\mathcal{G}) = \mathbb{E}(X) $ y luego simplemente calcular eso como $ \int_\Omega X d \lambda = \int_0^1cos(\pi x)dx = 0$ ? En caso afirmativo, ¿por qué?

Esto está relacionado con el esta pregunta de SE pero no pude captar la respuesta allí.

Answer 1

$E(X |\mathcal G)=0$ porque $0$ es medible con respecto a $\mathcal G$ y $EXI_B=0$ si $B$ o $B^{c}$ es contable. El primer caso es trivial ya que la medida de Lebesgue de cualquier conjunto contable es $0$ . Para el segundo caso, utilice el hecho de que $\int_B \cos (\pi \omega)d\omega =\int_0^{1} \cos (\pi \omega)d\omega-\int_{B^{c}} \cos (\pi \omega)d\omega=0$ .

Answer 2

Respuesta en la línea del enlace en su pregunta.

Supongamos que $Y$ es una variable aleatoria medible con respecto a $\mathcal G$ y que $F$ es su FCD. Entonces, para cada $y\in\mathbb R$ tenemos $\{Y\leq y\}$ es contable o su complemento es contable. Esto significa que $F$ sólo puede tomar valores en $\{0,1\}$ lo que a su vez lleva a la conclusión de que $P(Y=c)=1$ para algunos $c\in\mathbb R$ .

Concluimos que $\mathbb E[X\mid\mathcal G]=c$ para algunos $c\in\mathbb R$ y luego encontrar: $$c=\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal G]]=\mathbb EX=0$$ Para la última igualdad, véase la respuesta de Kavi.