Semigrupos Lindbladianos y Dinámicos

Question

Estoy intentando aprender un poco más sobre los sistemas cuánticos abiertos.

A menudo derivamos ecuaciones maestras o ecuaciones de Heisenberg-Langevin donde tenemos algo como

\begin{align} \dot{\rho}(t) = \mathcal{L}[\rho(t)]\\ \dot{A}(t) = \mathcal{L}^{\dagger}[A(t)] \end{align}

Aquí $\rho$ es la matriz de densidad del sistema y $A$ es un operador arbitrario del sistema y $\mathcal{L}$ superoperador lindbladiano dado por

$$ \mathcal{L}[\mathcal{O}] = -\frac{i}{\hbar}[H,\mathcal{O}] + \sum_i \gamma_i\left(L_i\mathcal{O}L_i^{\dagger} - \frac{1}{2}\left\{L_i^{\dagger}L_i,\mathcal{O}\right\}\right) $$

para cualquier operador $\mathcal{O}$ . Véase, por ejemplo este puesto .

Se dice que la forma Lindblad da la forma más general para generar la dinámica markoviana.

Está claro que debe haber ecuaciones maestras más generales que no sean markovianas. Me parece que se podría derivar la forma más general de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un sistema que proviene de un producto tensorial de dos sistemas, $A$ y $B$ . Tenemos

\begin{align} \rho(t) &= U(t)\rho(0) U^{\dagger}(t) = e^{\mathcal{L}t}[\rho(0)]\\ \dot{\rho}(t) &= \left[\dot{U}(t)U^{\dagger}(t),\rho(t) \right] = -\frac{i}{\hbar}[H(t),\rho(t)] = \mathcal{L}[\rho(t)] \end{align}

donde $U$ representa el operador de evolución temporal. A continuación, tomamos la traza parcial para obtener

\begin{align} \rho_A(t) &= \text{Tr}_B[\rho(t)]=\text{Tr}_B\left[e^{\mathcal{L}t}\rho(0)\right]\\ \dot{\rho}_A(t) &= \frac{d}{dt}\text{Tr}_B\left[\rho(t)\right] = \text{Tr}_B\left[\dot{\rho}(t) \right] = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)] \end{align}

Aquí $\mathcal{L}$ genera una dinámica unitaria para $\rho$ mientras se traza la dinámica del sistema $B$ lleva a $\mathcal{L}_A$ para generar la dinámica no necesariamente unitaria para $\rho_A$ .

Mis preguntas son las siguientes.

1) ¿Lo que he descrito es realmente la manera de derivar la forma más general para una ecuación maestra cuántica?

2) ¿Supongo que la derivación anterior no conducirá a la forma Lindblad porque no genera necesariamente una dinámica markoviana? ¿Es esto correcto?

3) ¿Es la restricción que $e^{\mathcal{L}_A t}$ es un elemento de un semigrupo dinámico el hecho matemático que lleva a $\mathcal{L}_A$ ¿tiene el formulario de Lindblad? ¿Es la restricción del semigrupo dinámico lo mismo que exigir una dinámica markoviana?

Answer 1

He seguido leyendo y veo un punto importante que se me pasó por alto más arriba. En mi última línea para $\dot{\rho_A(t)}$ Hice el paso

$$ \text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)]) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)] $$

Este paso no está justificado en general. En concreto, el problema es el siguiente. Creo que es cierto que $\text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)])$ puede escribirse como una función de $\rho_A$ Sin embargo, la dependencia no sólo puede incluir $\rho_A(t)$ . En particular, puede depender de $\rho_A$ en el momento $t$ así como otras épocas anteriores. Físicamente esto se corresponde con la idea de que la información sobre el sistema $A$ podría filtrarse en el sistema $B$ entonces, si el sistema $B$ tiene memoria esta información puede retroalimentar el sistema $A$ lo que significa que la evolución temporal actual del sistema $A$ dependerá, en general, del estado previo del sistema $A$ y todos los tiempos anteriores.

En física nos gustan las ecuaciones diferenciales para los objetos. Nos gusta cuando la evolución temporal de un objeto en el tiempo $t$ se relaciona con una función de ese objeto también en el tiempo $t$ . Podemos ver que el párrafo anterior se mete con esta desiderata. Por eso imponemos la markovidad del sistema $B$ lo que asegura que la ecuación maestra se puede escribir en la forma anterior.

Sigo esperando una respuesta de alguien más experto que yo, pero aquí están mis respuestas a mis propias preguntas.

1) Lo que he descrito no es la forma más general porque he hecho la suposición injustificada anterior. Sigo pensando que

\begin{align} \dot{\rho}_A(t) = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] \end{align}

Es la forma más general que podemos escribir donde $\mathcal{L}$ genera una dinámica unitaria para $\rho(t)$ . Lamentablemente no sé cómo escribir el lado derecho de esta ecuación en función de $\rho_A$ como me gustaría. Incluso teniendo una forma explícita para $\rho(t)$ y $\mathcal{L}$ No sabría cómo hacerlo, creo

2) Es cierto que esta forma general no conduce necesariamente a una forma Lindblad.

3) Estoy bastante seguro de que el operador de evolución temporal que forma parte de un semigrupo es el mismo que el requisito de Markov.

Para resumir y llegar al meollo de la cuestión: si incluso escribimos

$$ \dot{\rho}_A(t) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)] $$

Ya hemos asumido la evolución de Markov. Esto significa que $\mathcal{L}$ debe ser de la forma Lindblad [1]. Si queremos algo más general debemos abandonar la idea de $\dot{\rho}_A(t)$ dependiendo sólo de $\rho_A(t)$ y no $\rho_A(t')$ para otros tiempos $t'$ . Esto no es algo que personalmente me gustaría abandonar, así que seguiré con la evolución de Markov y las formas de Lindblad por el momento.

[1] G. Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math. Phys 48, 119, (1976).